T der ungedämpften Schwingung?b.

Fachhochschule Hannover M2A 12.01.2004 Fachbereich Maschinenbau Zeit: 90 min Fach: Physik II (Prof. Schrewe) Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung 1. Zur Bestimmung der Massenanteile von Kupfer (Cu) und Zinn (Sn) in einem Maschinenteil

aus Gussbronze wiegt man es in Luft und in Wasser. In Luft (L) zeigt die Waage 723 g, beim Eintauchen des Werkstücks in Wasser (W) 640 g

a. Wie groß sind die Kupfer- und Zinnanteile (wCu und wSn) in der Bronze?

2. Der normale Blutdruck des Menschen wird mit 80 mmHg bis 120 mmHg angegeben.

a. Schätzen Sie den Blutdruck einer 5 - 6 m großen Giraffe!

3. Ein Zeppelin der Masse m_Z 16,5t soll Gaskammern mit einem Volumen von 000 3

25 m

V_Z  besitzen, die mit Helium gefüllt sind. Man nehme an, dass beim Aufstieg das Gaskammervolumen, die Gesamtmasse des Heliums und das Verhältnis von Luftdruck zur Luftdichte ( ^pL^(h)/L^(h)) konstant bleiben. Am Startort herrsche ein Luftdruck von

hPa h

p_L( ₀)1000 und eine Temperatur von ^T(h0^{) 20C}. (Das Volumen der festen Teile kann vernachlässigt werden).

a. Welche Steighöhe erreicht der Zeppelin?

4. Betrachten Sie ein Pendel, dass durch eine (homogen) Kugel mit der Masse mK und Radius ^{R 2cm} und einer Pendelstange der Länge L = 2 R und der Masse mS mKgebildet wird. Die Drehachse verlaufe durch das Ende Pendelstange. Berechnen Sie:

a. das Trägheitsmoment,

b. die Eigen(kreis)frequenz 0^pund die Schwingungsdauer ^T0^p für ungedämpfte Schwingungen (physikalisches Pendel),

c. und zum Vergleich die Eigen(kreis)frequenz 0^mund die Schwingungsdauer ^T0^m für ein mathematisches Pendel. Wie groß ist die prozentuale Abweichung?

5. Eine Masse von ^m1kg werde an eine Feder gehängt. Die Gewichtskraft verlängert die Feder um ^xG 10^cm. Anschließend wird die Masse um ^x0 ^10cm ausgelenkt und die Schwingung des Feder-Masse-Systems untersucht.

a. Wie groß sind Eigenfrequenz 0und die Schwingungsdauer T0 der ungedämpften Schwingung?

b. Wie groß ist die Geschwindigkeit im Nulldurchgang der Schwingung im ungedämpften Fall?

c. In Kombination mit Dämpfungselementen beobachtet man, dass die Auslenkung nach fünf Schwingungen nur noch 1% der ursprünglichen Auslenkung beträgt. Wie groß ist die Abklingkonstante ^ ? Wie groß ist die Eigen(kreis)frequenz e der gedämpften Schwingung?

d. Welchen Wert hat die Resonanzfrequenz R?

e. Wie groß ist für die in 5c. beschriebene Dämpfung die Amplitudenüberhöhung im Resonanzfall?

________________________________________________________________________________

Dichte (bei 20°C): Wasser: W ^{0.998gcm3}, Kupfer: Cu ^{8,933gcm3}, Zinn:

30 3

,

7 ^

 gcm

Sn , Quecksilber: Hg ^{13,546gcm3},

Gasdichte (bei 0°C und 1023 hPa): Luft: _L 1,292kgm^3, Helium: He ^{0,1785kgm3}. L=2 R

D =2 R Drehachse

________________________________________________________________________________

Lösungen:

1.a Anzeige der Waage in Luft: ^{A F F}L B^Vg L^{V g} A

G

L    

Anzeige der Waage in Wasser: ^{A F F} B^{V g} W^{V g} W

A G

W     

Verhältnis der Anzeigen:

W B

B W

B L B W

L

A A















 



 

Dichte der Gussbronze:

3 3

693 , 8 723

1 640 998 , 0 1

 









 gcm gcm

A A

L W W B

 

Dichte der Gussbronze: B wCu Cu wSn Sn

mit wCu ^wSn ^1

Es folgt: ^{ }_ ^₈⁸_,^,₉₃₃⁶⁹³_^₇⁷_,^,₃₀^{30 85,3%}

Sn Cu

Sn B

wCu









% 7 ,

14 wSn

2a. Druck der Hg-Säule: ^{p Hg gh}

80 mmHg entsprechen: ^hPa

s m

m m

p_u kg 106,31

10

10 8010

81 , 9 546 ,

13 _{6 3 2}

3

3 





 ^ _ ^

120 mmHg entsprechen: ^hPa

s m

m m

p_o kg 159,46

10

10 12010

81 , 9 546 ,

13 _{6 3 2}

3 3







 ^ _ ^

Der menschliche Blutdruck entspricht einer Wassersäulenhöhe von 1,0 bis 1,5 m, also etwa der Höhe zwischen dem tiefsten Punkt und der Pumphöhe (Herz).

Eine Giraffe ist mit 5 – 6 m etwa dreimal so groß wie ein Mensch. Auch die Höhendifferenz zwischen tiefstem bzw. höchstem Punkt und der Pumphöhe werde durch den Faktor drei gut abgeschätzt. Der Blutdruck sollte also einer Wassersäule von ca. 3 m bis 4,5 m entsprechen.

Schätzung: ^pu 300^hPa bis ^po 300^hPa mmHg

p_u 240 bis ^po 360^mmHg

3a. Bed. für max. Steighöhe: ^{Gewichtskraft}^FG ^FA ^{Auftriebskraft}

 

Z A

L Z

He Z

G m g V g h gV F

F     (1)

Da das Verhältnis von Luftdruck und Luftdichte konstant sein sollen, sind Luftdruck und Luftdichte proportional. Für Luftdruck und Luftdichte als Funktion der Höhe gilt die barometrische Höhenformel:

Barom. Höhenformel für p: L L

 

^{pL hh gh}

L

e h p h

p ^{( )}

) (

0 ⁰

0

) (





Barom. Höhenformel für  : L L

 

^{pL hh gh}

L

e h

h ^{( )}

) (

0 ⁰

0

) (







 ^{ (2)}

Setzt man Gl. (2) in Gl. (1):

 

Z

h h g p

h L

Z He

Z V h e V

m ^L

L

) (

) (

0 ⁰

 0



  ^



Lösung für h: ⁽₍ ⁾₎^ln _{( )}

0 0

0

h V

V m

h g

h h p

L Z

Z He Z L

L





 



 



Umformung:

He Z

Z L L

L

V m

h h

g h h p





 

  ( )

)ln (

)

( ₀

0 0

Der Wert für die Luftdichte _L 1,292kgm^3 bezieht sich auf ^T0 ⁰^C ^273K und

hPa

p₀ 1013 . Am Startort herrscht der Druck ^pL(^h₀)1000^hPa bei einer Temperatur von K

C h

T( ₀) 20  293 . Zur Umrechnung dient die allgemeine Gasgleichung:

L L

L

T p h

h T

h p



  

 ₀

0 0

0 0

) ( ) (

) (

Luftdichte am Startort: _{3 3}

0 0

0 0

0 1,292 1,188

293 1013

273 1000 )

( ) ) (

( _  _



 



 

cm g cm

g h

T p

T h

h p^L _L

L 

 Heliumdichte am Startort:

3 3

0 0

0 0

0 0,1785 0,1642

293 1013

273 1000 )

( ) ) (

( cm

g cm

g h

T p

T h

h p _He

He 



 



  



Lösung für h: _0,1642

25000 16500

188 , ln 1

188 , 1 81 , 9

10

3 2

2 5





 ^

m kg s

m m h N

m m m

h ln1,4413 8581 ln1,4413 3137 188

, 1 81 , 9

10⁵   

 

4a. Trägheitsmomente: ^{2 2 2 9,4 2}

5 ) 47 2

5 (

2m R m R R m R m R

J_K  _K  _K   _K  _K

2 2

2

2 1,333

3 4 3

4 3

1m L m R m R m R

J_S  _S  _S  _K  _K

2 2 10,733 15

161m R m R

J J

J_ges  _K  _S  _K  _K

4b. Abstand: S <-> D: ^{d m R}_m ^{m R R}

ges S

k3  2



Eigen(kreis)frequenz: _R

g R

g R

m R g m J

d g m

K K ges

p  ges      0,610

161 60 15

161 2 2

2

0

1

0 2 13,52

02 , 0

81 , 610 9 , 0 610

,

0     ^

 s

s m

m R

p g



Schwingungsdauer: ^T p ^s

p 2 0,465

0

0  





4c. Mathematischen Pendels:

l

m  g

0 mit: ^{l 3R}

Eigen(kreis)frequenz: 0 2 12,78 ¹

02 , 0 3

81 ,

9 _

 



 s

s m m l

m g



Schwingungsdauer: ^T m ^s

m 2 0,491

0

0  





Prozentuale Abweichung: 5,5%

0 0

0  

p m

wp





5a. Federkonstante:

m N m

N x

g m x D F

G G

G 98,1

1 , 0

81 , 9

1 







Eigen(kreis)frequenz: 0 2 9,90 ¹

1 1 ,

98  _



 s

s m kg

m kg m

 D

Schwingungsdauer: ^{T 2 0,634s}

0

0  





5b. Energieerhaltungssatz: 2 0²

0 2

1 2

1mv  Dx

Geschwindigkeit:

s m m

s x

m x

v₀  D  ₀ ₀ ₀ 9,90 ^10,1 0,99

5c. Amplitudenabnahme: ^{5 0}

0

0) 0,01 5

( _T

A e T

A _{ }



 ^

Abklingkonstante: ¹

0

45 , 5 1

01 , 0

ln _





 s

 T

Eigen(kreis)frequenz: _e  0² ² 9,79s^1

5d. Resonanzfrequenz: _R  0² 2² 9,69s^1

5e. Die Resonanzüberhöhung ist das Verhältnis der Resonanzamplitude AR^maxbezogen auf die Amplitude ^A0^err , die ein Erreger an dem schwingenden System bei a ^0 erzeugt.

Für die Resonanzamplitude gilt: _{2 4}

0 2 max

4 4   

 ^a

R

A f mit:

m f_a  F^a

Im statischen Fall gilt: Fa  D A₀^err

Es folgt: _{2 4}

0 2

0 4

2 0 2 max

4 4

4

4        

 

m

A D A f

err a

R

Da gilt:

m

 D

2

0

folgt für die Resonanzüberhöhung:



2 0^{2 4}



4 0 2 0

2 0 4

2 0 2

2 0 0

max

4 1 4

4

4   

 













 

 ß

A A

err R

Lösung: ^3,45

2

1

4

0 2

0 0

max





 







 



 









err 

R

A A