T für eine ungedämpfte Schwingung. c.

Fachhochschule Hannover M2B 15.01.2003 Fachbereich Maschinenbau Zeit: 90 min Fach: Physik II Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung 1. Archimedes konnte vor mehr als 2200 Jahren zeigen, dass die Krone des Königs Hieron II. aus

reinem Gold war. Dazu wog er die Krone zunächst in Luft (L) und dann noch einmal, wobei er sie in Wasser (W) eingetauchte. Anschließend verglich er die Anzeigen FL und FW. Welchen Wert erhielt er für das Verhältnis FW FL ?

2. Ein dünnwandiges Rohr mit Durchmesser d₁ 80mm, dessen unteres Ende mit einer zylindrischen Eisenscheibe Scheibe verschlossen ist, wird ins Wasser getaucht. Die Eisenscheibe mit einem Durchmesser ^d2 ^100mm und einer Dicke ^s8mm soll nur durch den Wasserdruck gegen das Rohrende gedrückt

werden. Welche Eintauchtiefe ^h ist erforderlich, damit sich die Scheibe nicht vom Rohr löst?

3. Es sollen zwei Pendel verglichen werden: Pendel 1 besteht aus einem (dünnem) Ring der Masse m1 mit Radius ^{R 1m}, der an einer Stange der Masse

5 1

,

0 m

m_S  und der Länge R hängt. Pendel 2 besitzt statt des Ringes eine homogene Scheibe gleicher Masse. Drehpunkt A ist jeweils das obere Ende der Stange. (Zur Vereinfachung des Problems berücksichtige man nicht die Dicken der Pendelstangen und des Ringes).

Bestimmen Sie für beide Pendel:

a. Den Schwerpunkt S und den Abstand d zwischen Drehpunkt A und Schwerpunkt S . b. Die Eigen(kreis)frequenz 0und die Schwingungsdauer T0 für eine ungedämpfte Schwingung.

c. Die Länge lR, die ein mathematisches Pendel mit der gleichen Schwingungsdauer hätte.

d. Das Pendel 2 soll jetzt um den Drehpunkt A schwingen. A liegt auf der Linie, die durch A und S verläuft und der Abstand zwischen den Punkten A und A soll gleich der Länge lR sein. Bestimmen Sie die Schwingungsdauer bezüglich des neuen Drehpunkts.

4. An der Laufkatze eines Krans hängt ein kugelförmiger Behälter mit Durchmesser von 1 m und einer Masse von 3 t. Die Seillänge betrage ebenfalls 1 m. Die Masse des Seils kann

vernachlässigt werden. Die Laufkatze bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 2 m s^-1. Beim plötzlichen Bremsen der Laufkatze beginnt die Last zu schwingen.

a. Berechnen Sie das Trägheitsmoment JZder (homogenen) kugelförmigen Masse bezüglich der Drehungen um ihren Aufhängepunkt.

b. Bestimmen Sie die Schwingungsdauer T0 der ungedämpften Schwingung.

c. Welchen (maximalen) Auslenkungswinkel maxerreicht die Last nach der Abbremsung?

Nach zwölf Schwingungen beträgt die Amplitude nur noch 2% der Ursprungsamplitude.

d. Wie groß ist die Abklingkonstante ^?

e. Berechnen Sie die Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung.

f. Wie groß müsste die Abklingkonstante im aperiodischen Grenzfall sein?

g. Durch periodische Bewegung der Laufkatze könnte man eine Schwingung erzeugen. Bei welcher Anregungs(kreis)frequenz ist erhält man Resonanz? (Dämpfung wie in 4d)

Dichte: Wasser:_W 0,998gcm^3, Gold: _Au 19,29gcm^3, Eisen: _Fe 7,8gcm^3, Luft:

00129 3

,

0 ^

 gcm

L

R

R R

1 2

A A

Lösungen:

1. Mit einer Waage bestimmt man die Differenz zwischen der Gewichtskraft F_G mg und der Auftriebskraft A.

In Luft gilt: F_L mgA_L  _AuVg_LVg

In Wasser gilt: F_W mgA_W _AuVg_WVg

Für das Verhältnis gilt: 0,9483

00129 , 0 29 , 19

998 , 0 29 ,

19 



 



 

L Au

W Au L

W

F F









2. Die Scheibe ist kräftefrei, wenn die Gewichtskraft F_G mg gleich der Differenz der Druckkräfte unterhalb und oberhalb der Scheibe ist. p0 bezeichnet den äußeren Luftdruck (der zur Vereinfachung, unabhängig von der Eintauchtiefe h sein soll). Der Druck in der Wassertiefe h ist p_W(h) p₀ _Wgh. Der Durchmesser der Scheibe sei A_S, der Durchmesser des Rohres A_R.

Gewichtskraft: ₂²

4g sd mg

F_G   ^Fe 

Druckkraft unterhalb der Scheibe:



  

4 d h g A

p A h p p

F_U   _W  _S  _S _W   Druckkraft oberhalb der Scheibe: FO 





  



  



W R R

S

O p A p A p A p h s A A

F  ₀  ₀  ₀    

  



2 2

0A g h s 4 d d

p

F_O  _S _W    

Differenz der Druckkräfte:

   

 

2 2 2

4g hd2 h s d d F

F_U  _O  ^W       Gleichgewichtsbedingung: FG FU FO

   





2 2 2

2 2

2 hd h s d d

sd _W

Fe      



d cm s d

h

W

Fe 1 9,32

1 ₂

1 2 2 









 

 



 



 



3a. Schwerpunkt der Stange und Schwerpunkt von Ring/Scheibe haben einen Abstand von R 2 3

Bezeichnet man den Abstand zwischen dem Pendelschwerpunkt und dem der Stange mit l₁ und den Abstand zwischen dem Pendelschwerpunkt und dem von Ring/Scheibe mit l2,

gilt: l l R

2 3

2

1 

und: F₁ m_Sgl₁ m₁gl₂ F₂

Abstand Drehachse-Schwerpunkt: d R l R R R 1,5m

2 3 2

1 2

1

1   





3b. Für ein physikalisches Pendels gilt:

Eigen(kreis)frequenz:

J

 mgd

0

Pendelmasse (Ring u. Scheibe): _{1 1}

2 3m m m

m _S  

Pendel 1 (mit Ring):

 

1 2

1 6

1 31 6 4

2 1 3

1m R m R m R m R m R

J _S  



 



  









Eigen(kreis)frequenz (Pendel 1): ¹

2 1 1 1

0 2,067

62 27 6

31 2 3 2

3

 

 

  s

R g R

m R g

 m

Schwingungsdauer (Pendel 1): T 2 3,040s

0 1

0  





Pendel 2 (mit Scheibe):

 

1 2

1 2 1 2

2 6

28 2

4 1 6 1 2

2 1 3

1m R m R m R m R m R

J _S  



 



  









Eigen(kreis)frequenz (Pendel 2): ^{1 1}

2 1 2 1

0 2,17482 2,175

56 27 6

28 2

3 2

3



 



 

  s s

R g R

m R g

 m

Schwingungsdauer (Pendel 2): T 2 2,889s

0 2

0  





3c. Mathematisches Pendel mit gleicher Schwingungsdauer:

Eigen(kreis)frequenz:

lR

 g

0

Reduzierte Pendellänge (Pendel 1): g m

l_{R 2} 2,296

0

1  



Reduzierte Pendellänge (Pendel 2): g m m

l_{R 2} 2,07407 2,074

0

2   



3d. Schwingung des Pendels 2 um A:

Abstand Drehachse-Schwerpunkt: d 2,074m1,5m 0,57407R0,574m Pendel 2 (mit Scheibe) um A^:

   

   

 

1

2 1 2

1 2 1

2 1

2 1 2

1 2 2

2

7860 , 1 5

, 0 00549 , 0 23885 , 1 04167 , 0

2 074 1

, 0 574

, 2 1 1 24

1

2 074 1

, 0 574

, 12 1

1

R m R

m

R m R

m R m

R m

R m R

m R m

R m

J _{S S}



























 

Eigen(kreis)frequenz (Pendel 2 bzgl. A): 1

2 1 1

0 0,48214 2,175

7860 , 1

57407 , 2 0

3

 







  s

R g R

m

R g

 m

Schwingungsdauer (Pendel 2 bzgl. A^{: T 2 2,889s}

0

0 





4a. Abstand Schwerpunkt – Drehpunkt: ^{d 1m0,5m1,5m}

Trägheitsmoment der Kugel ² 300 ² 5

2mR kgm

J_S  

Nach dem Steinerschen Satz ist: J_ges  J_S md² 3006750kgm² 7050kgm² 4b. Eigen(kreis)frequenz der ungedämpften Schwingung: ₀  2,5023s^1

J d g

 m

Schwingungsdauer der ungedämpften Schwingung: T 2 2,511s

0

0  





4c. Energieerhaltungssatz: Die kinetische Energie der mit v0 bewegten Kugel ist gleich der potentielle Energie mit der Höhe h0:

Energie: mv mgh 6000J

2 1

0 2

0  

Höhe h₀: ^m

mg

h 3000J 0,204

0  

Bei der Auslenkung eines Pendels der Länge l um den Winkel max wird der Schwerpunkt um h0 gehoben.

) cos 1

( _max

0 l  

h

Mmaximale Winkelauslenkung max:  

 



 

arccos 1 ⁰ 30,2

max l

 h















 

 30,2

1 2 arccos

2 0

max gl

 v

4d. Bestimmung der Abklingkonstante aus: 





 

e e

e

T T

T

 

 





 12

02 , 0 ln 12

ln 12

max





Als Näherung kann man T_e T₀ setzen: ^{0 1}

0

12983 , 2 0

12 50 ln 12

50 ln 12

50

ln  



 

 

  s

T

T_e 

 

Exakte Lösung:

1 2

2

0 0,12966 50 1

ln 12 2

 

 



 



 

 s



 

Der Unterschied von 0,13% ist vernachlässigbar gering.

4e. Die Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung ist: _e  ₀²² 2,4989s^1

0013 ,

0 0



e e







4f. Aperiodischer Grenzfall  ₀ 2,5023s^1

4g. Resonanzfrequenz gilt: _R  ₀²2² 2,4956s^1