T für eine ungedämpfte Schwingung.

Fachhochschule Hannover Übungsklausur M2B 13.01.2003 Fachbereich Maschinenbau Zeit: 90 min Fach: Physik II Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung

1. Bei einer Präzisionswägung wird ein Gewichtsstück aus Platin mit der Masse von 1 kg auf einer sehr genau anzeigende Waage gelegt. Die Wägung findet in einem Laboratorium bei normalem Luftdruck statt.

a. Was zeigt die Waage an?

b. Welche Anzeige würde sich ergeben, wenn das Gewichtsstück von Wasser umgeben wäre?

2. Einkochgläser werden auf etwa 100°C erhitzt. Das Volumen oberhalb der Flüssigkeit füllt sich dabei (fast) vollständig mit Wasserdampf, der den gleichen Dampfdruck besitzt, wie der äußere Luftdruck (etwas 1000 hPa).

Beim Abkühlvorgang wird das Glas verschlossen, so dass keine Luft mehr eindringen kann, gleichzeitig sinkt der Dampfdruck des Wassers. Bei einer Temperatur von 20°C beträgt der Wasserdampfdruck im Glas 2,34 kPa.

a. Berechnen Sie die Kraft, die bei 20°C auf den Deckel wirkt, wenn der Deckel einen Außendurchmesser von 11 cm und einen Innendurchmesser von 10 cm hat.

3. Ein Pendel, das um den Drehpunkt D schwingt, besteht aus einer Kugel der Masse m1 mit Radius ^R1m, die an einer Stange der Masse m_S 0,8m1 und der Länge

R L 1,6 hängt.

(Zur Vereinfachung des Problems berücksichtige man nicht die Pendelstangendicke).

a. Bestimmen Sie den Schwerpunkt S und den Abstand d zwischen Drehpunkt D und Schwerpunkt S .

b. Die Eigen(kreis)frequenz 0 und die Schwingungsdauer T0 für eine ungedämpfte Schwingung.

4. Reversionspendel: Ein homogener Stab (kurze Seite: ^a2cm, mittlere Seite: ^b10cm, lange Seite ^c40cm,





12

1 ma c

J_S   ) sei um

den Punkt A drehbar gelagert. Der Abstand zwischen Schwerpunkt und Drehpunkt betrage ^s15cm.

a. Bestimmen Sie die Eigen(kreis)frequenz und die Schwingungsdauer der ungedämpften Schwingung.

b. Berechnen Sie die reduzierte Pendellänge lr . lr ist die Länge eines mathematischen Pendels, dass die selbe Schwingungsdauer hätte.

c. Bestimmen Sie die Schwingungsdauer um den Punkt

A

5. An der Laufkatze eines Krans hängt ein kugelförmiger Behälter mit einem Durchmesser von 2 m und einer Masse von 5 t. Die Seillänge (zwischen Kugeloberfläche und Laufkatze) betrage ebenfalls 2 m. Die Masse des Seils kann vernachlässigt werden. Die Laufkatze bewegt sich mit einer Geschwindigkeit von 2 m s^-1.Beim plötzlichen Bremsen der Laufkatze beginnt die Last zu schwingen.

a. Berechnen Sie das Trägheitsmoment der homogenen Kugel bezüglich Drehungen um den Aufhängepunkt.

Betrachten Sie die Kugel als Massenpunkt und berechnen Sie dessen Trägheitsmoment? Wie groß ist der Unterschied?

b. Bestimmen Sie (1) die Eigen(kreis)frequenz und (2) die Schwingungsdauer der ungedämpften Schwingung.

c. Vergleichen Sie die unter 3b) berechneten Wert mit denen, die sich für ein mathematisches Pendel ergeben würden.

d. Welche (maximale) Amplitude erreicht die Last nach der Abbremsung?

Die Beobachtung ergibt, dass die Schwingung der Kugel gedämpft ist. Nach zehn Schwingungen beträgt die Amplitude nur noch 1% der Ursprungsamplitude.

e. Wie groß ist die Abklingkonstante?

f. Die Eigen(kreis)frequenz und die Schwingungsdauer unterscheiden sich von den in 5c berechneten Werten. Wie groß ist der prozentuale Unterschied?

g. Die Schwingung der Last soll bedämpft werden. Wie groß müsste die Abklingkonstante im aperiodischen Grenzfall sein?

h. Durch eine periodische Bewegung der Laufkatze könnte man eine Schwingung erzeugen. Bei welcher Anregungsfrequenz wäre das Pendel bei der in 5.e. und 5.f. angenommenen Dämpfung in Resonanz?

Dichte: Wasser:_W 0,998gcm^3, Platin: _Pt 21,4gcm^3, Luft: _L 0,00129gcm^3

L

R

D

Lösungen:

1a. Das Gewichtsstück erfährt einen Auftrieb ALuft:

N m g

A

Pt

4 L

Luft    5,91410^

 

Die Waage zeigt: ^{Anzeige0,999940kg}

1.b. Auftrieb in Wasser: m g N

A

Pt

asser _W 0,4575

W    

 

Die Waage zeigt: ^{Anzeige0,9534kg}

2. Die Kraft, die auf den Deckel wirkt, ergibt sich als Differenz der von außen wirkenden Kraft Fa und der von innen wirkenden Kraft Fi. Wenn außen der Druck pa auf die Kreisfläche mit Durchmesser da wirkt und innen der Druck pi auf die Fläche mit Radius di wirkt, gilt:

Kraft auf den Deckel: ^{F F}a ^Fi





2

2   









 

3a. Schwerpunkt der Stange und Schwerpunkt der Kugel haben einen Abstand von L R 0,8R R 1,8R 2

1    

Bezeichnet man den Abstand zwischen Pendelschwerpunkt und dem der Stange mit l1

und den Abstand zwischen Pendelschwerpunkt und dem der Kugel mit l2,

gilt: l₁ l₂ 1,8R

und: F1 m_Sgl1 m1gl2 F2

Es folgt: l1 1,25l2 und l₂ 0,8R und l₁ R Abstand Drehachse-Schwerpunkt: d L l 1,6R R 1,8R 1,8m

2 1 2

1

1    





3b. Für ein physikalisches Pendels gilt:

Eigen(kreis)frequenz:

J

 mgd

0

gesamte Pendelmasse: mm_S m1 0,8m1 m1 1,8m1

Trägheitsmoment:

 

 

2 1 2 2

2 1 2

1 2 1

8426 , 5 7

1 2 6 , 1 6 , 1 8 , 3 0 1

5 2 3

1

R m R

m R m R

L m L m

J _S

 



 



     













Eigen(kreis)frequenz (Pendel 1): ₂ ¹

1

0 1

0 , 413128 2 , 01315

8426 , 7

8 , 1 8

,

1



 

  s

R g R

m R g



Schwingungsdauer (Pendel 1): T 2 3,1210s

0

0  





4a. Masse des Pendels:

M

Abstand Drehpunkt – Schwerpunkt: ^{d s0,15m}

Trägheitsmoment:

 

2 2

2 2 2 2

22915 , 0 0626

, 121 1406 1 , 0

4 12 375 1

, 0

c M c

M

c c M c

M J s M

J_{ges S}







 



 













  



 



 







Eigen(kreis)frequenz:

1

0 2 1,636 6,335

22915 , 0

375 ,

0 _







 s

c g c

M c g

M J

d g

 M

Schwingungsdauer: T 2 0,9918s

0

0  





4b. Mathematisches Pendel mit gleicher Schwingungsdauer:

Eigen(kreis)frequenz:

lR

 g

0

Reduzierte Pendellänge g m

l_{R 2} 0,2444

0





4c. Schwingung des Pendels 2 um

A

Abstand Drehachse-Schwerpunkt: d





Trägheitsmoment bezgl.

A

 

 





c c M m

M J d M

J_{ges S}

2

2 2 2 2

023077 , 0 014166

, 0 008911 , 0

4 12 0944 1

, 0



















  



 



 



 



Eigen(kreis)frequenz:

1 1

0 2 4,0906 6,335

023077 ,

0

0944 ,

0 _{ }









 m g s

M m

m g

M J

d g

 M

Schwingungsdauer: T 2 0,9918s

0

0  





5a. Nach dem Steinerschen Satz ist: ^Jges ^JS ^md2

Trägheitsmoment der Kugel: ² 2000 ²

5

2mR kgm

J_S   Abstand des Schwerpunktes-Drehpunkt ^{d 1m2m3m} Trägheitsmoment (homogene Kugel):

2 2

2

2 2000kgm 45000kg m 47000kg m

md J

J_Kugel  _S    

Trägheitsmoment (Massenpunkt): J_Punkt md² 45000kg m² Unterschied:4,25%

5b. Eigen(kreis)frequenz der ungedämpften Schwingung: ₀  1,7694s^1 J

d g

 m

Schwingungsdauer der ungedämpften Schwingung: T 2 3,551s

0

0  





5c. Mathematisches Pendel: Eigenfrequenz:  1,8083s^1 l

g

m

Schwingungsdauer: T s

m

m 2 3,3746



 



Vergleich mit 5.b.: Abweichung 2, 15%

5d. Energieerhaltungssatz: Die kinetische Energie der mit v0 bewegten Kugel ist gleich der potentielle Energie der Höhe h0 bei der Maximalamplitude:

0 2

2 0

1m_K v mgh

Bei der Auslenkung eines Pendels der Länge l um den Winkel max wird der Schwerpunkt um h0 gehoben.

) cos 1

( _max

0 l  

h

Die maximale Winkelauslenkung max beträgt:  







 

 37,2

1 2 arccos

2 0

max gl

 v

5e. Bestimmung der Abklingkonstante aus:

  10  T

  

 e

 

e e

e

T T

T

 







 10

100 ln 10

ln 10







Als Näherung kann man T_e T0 setzen: ^{0 1}

0

12968 , 2 0

10 100 ln 10

100 ln 10

100

ln



 

 

  s

T

T_e 

 

Exakte Lösung:

1 2

2

0 0,12934 100 1

ln 10 2

 

 



 



 

 s



 

Wie man erkennen kann, ist der Unterschied mit 0,26% vernachlässigbar.

5f. Die Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung ist: _e  ₀² ² 1,76467s^1

0047 ,

0 0



e e







Die Abweichung zur Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung beträgt 0,25%.

5g. Im aperiodischen Grenzfall muss die Abklingkonstante gleich der Eigenfrequenz der ungedämpften Schwingung

sein:  ₀ 

1 , 7694

5h. Für die Resonanzfrequenz gilt: _R  ₀²2² 1,7599s^1 Wie man erkennen kann, ist der Unterschied mit 0,26% vernachlässigbar.