T für eine ungedämpfte Schwingung, c.

Fachhochschule Hannover M2A/PT4 21.06.2003 Fachbereich Maschinenbau Zeit: 90 min Fach: Physik II Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung 1. Zur Bestimmung der Dichte werden zwei metallische Probekörper jeweils in Luft (L) und in

Wasser (W) gewogen. Das Verhältnis der Waagenanzeigen ergibt für Probe 1









a. Bestimmen Sie die Dichten.

b. Aus welchen Elementen könnten die Probekörper bestehen?

2. Betrachten Sie einen Heißluftballon mit dem Volumen 3000 m³, einer Rüstmasse von 200 kg für Hülle, Korb und Brenner und einer Zuladung von (maximal) 700 kg. Am Startort soll die Lufttemperatur 12°C und der Luftdruck 965 hPa betragen.

a. Berechnen Sie die tatsächliche Luftdichte am Startort, wenn unter Normalbedingungen (

hPa

p₀ 1013,25 und ^T0 ^273,15K ) die Luftdichte Luft^{0 1,293kgm3} beträgt.

b. Beim Startvorgang soll der Ballon mit maximaler Zuladung gerade schweben. Berechnen Sie für diese Bedingungen die Luftdichte und die Lufttemperatur innerhalb des Ballons.

c. Welche Lufttemperatur im Ballon würde benötigt, wenn der Start in der Mittagszeit, z. B. bei einer Außentemperatur von 32 °C erfolgen soll?

d. Wie groß wäre ein mit Helium gefüllter Ballon, der unter gleichen äußeren Bedingungen wie in 2a. die gleiche Tragkraft (für Rüstmasse plus maximale Zuladung) hätte? (

3 0 0,1786kg m^

He )

3. Betrachten Sie ein Pendel (Hantel), dass aus zwei Kugeln gleicher Masse mK und gleichem Radius ^R5cm und einer Verbindungsstange der Länge L = 2R und Masse mS (116)mK besteht. Die Drehachse D verlaufe durch den Mittelpunkt der oberen Kugel. (Zur Vereinfachung vernachlässige man die Dicke der Verbindungsstange). Berechnen Sie a. das Trägheitsmoment,

b. die Eigen(kreis)frequenz 0und die Schwingungsdauer T0 für eine ungedämpfte Schwingung,

c. und die Länge lM , die ein mathematisches Pendel mit der gleichen Schwingungsdauer hätte.

4. Ein 20’ Standardtransportcontainer (L = 5880 mm, B = 2330 mm, H = 2380 mm, zulässiges Gesamtgewicht = 24000 kg) soll an einem 3 m langen Seil hängend mit einem Laufkran versetzt werden werden. (Die Masse des Seils kann vernachlässigt werden, die

Geschwindigkeitsrichtung ist parallel zu L)

a. Der Laufkran bewegt den Container mit v0 2,5ms^1. Nach dem Abstoppen des Krans beginnt der Container zu schwingen. Berechnen Sie den Auslenkungswinkel max. b. Berechnen Sie die Eigen(kreis)frequenz 0und die Schwingungsdauer T0 für einen

homogen beladenen Containers mit der maximalen Gesamtmasse von mmax = 24000 kg.

c. Betrachten Sie einen leeren Container mit der Masse mleer = 2300 kg. Wie ändern sich die Werte für max und T0?

d. Zur Dämpfung der Abbremsschwingungen verwendet man Komponenten, die pro Schwingung die Amplitude auf 33,3% verringern. Wie groß ist die Abklingkonstante ^ ? Wie groß ist die Eigen(kreis)frequenz e der gedämpften Schwingung?

e. Welchen Wert hat die Resonanzfrequenz R?

f. Wie groß ist für die in 4d. beschrieben Dämpfung die Amplitudenüberhöhung im Resonanzfall?

Hinweis: Trägheitsmoment eines Quaders:^JQ 









D

R L = 2R

Lösungen:

1. Mit einer Waage bestimmt man die Differenz von Gewichtskraft ^FG ^mg ^{V g}und Auftriebskraft A.

In Luft gilt: F_L mgA_L Vg_LVg In Wasser gilt: ^FW ^mg^AW ^V^gW ^V^g

Definiert man:

W L W

L

F R F











 

 :

folgt für die Dichte:

1



  R R _W _L



1a. Probekörper 1: ₁ 7,87gcm^3 Probekörper 2: 1 2,698gcm^3 1b. Beim Probekörper 1 handelt es sich um: Fe

Beim Probekörper 2 handelt es sich um: Al 2a. Allgem. Gasgleichung:

0 0

0 1

1 1



  

 T

p T

p

Luftdichte am Startort: 0 ³

0 1 1 0

1    1,179kgm^

p p T

T 

 2b. Schwebebedingung: Auftrieb = Gewichtskraft

Auftrieb: AV ₁g

Gewichtskraft: ^Fg 









V m m_{R Z}

i 



Temperatur im Ballon: ^T _p^{p T K}

i

i ⁰ ₀ 383

0

1  

 

 oder ^Ti 111^C

2c. Bei einer Außentemperatur von 32°C:^Ti 419^K oder ^Ti 146^C

Eine um 20°C höhere Lufttemperatur erfordert also eine 35°C höhere Gastemperatur im Ballon. Heißluftballonfahrer bevorzugen deshalb kühlere Wetterbedingungen.

2.d Dichte des Heliums am Startort: 0 ³

0 1 1 0

1    0,1629kgm^

p p T

T 



Gasballonvolumen: ³

1 1

886m m

V m_Luft^{R Z}_He 



 





Gasballone sind also deutlich kleiner als Heißluftballone.

3a. Das Gesamtträgheitsmoment ist die Summe der Trägheitsmomentes der oberen Kugel, Jo, der Stange, Js und der unteren Kugel, Ju

Obere Kugel: ^{2 0,400 2}

5

2m R m R

J_o  _k  _K

Verbindungsstange:

 

 

48 2 13

12

1 m R m R m R

R R m

J_S  _S   _S  _K  _K

Untere Kugel:

 

5 82 5

2R R 2m R m R m R

R m

J_U  _K    _K  _K  _K

Gesamtträgheitsmoment: Jges  mKR² 









240 4097

3b. Eigenkreisfrequenz

R g R

m R g m J

d g m

K K

ges

ges   

 0,24164

240 4097 16 2 33

2

0

Lösung: 0 6,885s^1 (mit g = 9,81 ms^-2)

Schwingungsdauer: ^T _w^{2 0,9125s}

0

0   

3c. Länge des mathematischen Pendels: M g m RK

l ₂ 0,2069 4,14

0







4a. Der Container wird mit konstanter Geschwindigkeit

s

v₀ 2,5 m bewegt. Seine kinetische

Energie der Translation beträgt: ^Ekin^{trans mv} 75^kJ 2

1 ₂ 

 .

Ausführliche Darstellung (nicht unbedingt nötig):

Die Translationsenergie wird nach dem Abstoppen zunächst in Rotationsenergie verwandelt:

Kinetische Energie der Rotation: ^Erot ^Jges ^kJ

kin 75

2

1 ₂

max 

 

Gesamtträgheitsmoment: max





2

max 12

1 m H L

l m

J_ges   

Abstand Drehpunkt – Schwerpunkt: ^{l l}S ^H 4,190^m 2 





Lösung: max ²





12

1 H L kgm

l m

J_ges 



 



  



Winkelgeschwindigkeit nach Stoppen: max  2 0,546726s¹

J E

ges trans

_ kin

Mit der anfänglichen Rotationsenergie wird Arbeit gegen

das Drehmoment: ^{M lF}tan ^{lmgsin lmg}

Die geleistete Arbeit:

 

0

0 2

1

max

max     





g m l d g m l d M

W ^





entspricht der potentiellen Energie im Umkehrpunkt.

Für die Maximalamplitude gilt:    

 2 0,38994 22,34

max lmg

E_kin^rot



Alternativer (kürzerer) Ansatz: ²

2 1mv E

h g m

E_pot   _kin^trans 

Die Steighöhe beträgt: ^h ₂^v_g ^0,31855m

2 



Es gilt: h l ⁽¹^cosmax^{ )}

und für den Auslenkungswinkel: ^{  }



 

 



 arccos 1 0,39245 22,48

max l

 h

4b. Eigen(kreis)frequenz: ^{0 max 2}





12 1

 







 s

L H l

l g J

l g m

ges



Schwingungsdauer: ^{T 2 4,4813s}

0

0  





4c. In den Beziehungen für max, 0 und T0 kann die Masse jeweils gekürzt werden. Deshalb sind diese Größen alle unabhängig von der Masse.

4d. Für die Maximalamplituden zweier aufeinander folgender Schwingungen gilt:

  



max

max e T

n

n 



  



Abklingkonstante:

     

0 0

max

max 1 ln3 0,2454

ln _





 



 s

T T

n n 

 

Abklingkonstante/Eigenfrequenz: ^ln₂ ^{3 0,17485}

0



 





Gedämpfte Schwingung: _e  0²  ß² 1,3805s^1

4e. Resonanzfrequenz: _R  0² 2² 1,3584s^1

4.f. Die Resonanzüberhöhung ist das Verhältnis der Resonanzamplitude R^maxbezogen die Amplitude 0^err, die Erreger an dem schwingenden System bei a ^0 erzeugt.

Für die Resonanzamplitude gilt: _{2 4}

0 2 max

4

4 ß

f_a

R  



  mit:

J f_a  M^a

Im statischen Fall gilt: Ma D^*₀^err

Es folgt: _{2 4}

0 2

0

* 4

2 0 2 max

4 4

4

4 J ß

D ß

f_a ^err

R   

 









  Da gilt:

J D^*

2 0 



folgt für die Resonanzüberhöhung:





2 4 0 2 0

2 0 4

2 0 2

2 0 0

max

4 1 4

4

4 ß ß

err R





 





 















Lösung: ^2,904

2

1

4

0 2

0 0

max 



 







 



 









 



err R