T der ungedämpftenSchwingung, wenn man ein Federpendel mit einer Masse von 100 gund die oben beschriebene Feder verwendet?

Fachbereich Maschinenbau Zeit: 90 min zum Fach Physik II im WS1011 Hilfsmittel: Formelsammlung zur Vorlesung --- 1. Eine kugelförmige Unterwasserforschungsstation mit Außendurchmesser D = 6 m soll mit

einem Seil am Meeresbodenverankert werden. Voll besetzt hat die Forschungstauchglocke eine Masse von 75 t. Welche Zugkraft wirkt an dem Seil?

2. Welcher Volumenanteil eines Werkstücks aus Stahl taucht unter, wenn man es in Quecksilber schwimmen lässt?

3a. Schätzen Sie die Gesamtmasse der Erdatmosphäre auf der Basis des Standarddrucks

0 1013, 25

p  hPa und der mittleren Erdbeschleunigung g9,81m s^2.

b. Verkehrsflugzeuge fliegen typischerweise in Höhen von 11 km. Wie viel Prozent der Atmosphärenmassen befinden sich unterhalb, wie viel oberhalb des Flugzeugs?

4. Es soll ein Pendel aus zwei (dünnen) Stangen mit jeweils Länge L und Masse mS betrachtet werden (siehe Abb.) (^L1m, mS ¹kg).

a. Ersetzen Sie zunächst das reale Pendel durch ein mathematisches Pendel der Länge L und berechnen Sie die Schwingungsdauer für ungedämpfte Schwingungen.

b. Behandeln Sie das gezeigte Pendel als physikalischen Pendels und berechnen Sie dessen Schwingungsdauer für den Fall einer

ungedämpften Schwingung.

c. Eine Messung der Schwingungsdauer des physikalischen Pendels ergibt, dass die Amplitude nach fünf Schwingungsdauern (5·Te) auf

20% der ursprünglichen Amplitude abgenommen hat. Berechnen Sie die Abklingkonstante für die gedämpfte Schwingung.

d. Wie groß ist die Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung Te?

e. Das gezeigte physikalische Pendel soll zum Zeitpunkt t = 0 mit einer Winkelgeschwindigkeit von ₀ 10s^1 aus der Ruhelage ausgelenkt werden. Berechnen Sie den Auslenkungswinkel zum Zeitpunkt ^t20s.

5. Hängt man eine Masse von 200 g an eine Feder, so verlängert sie sich um 5 cm.

a. Wie groß ist die Schwingungsdauer T0 der ungedämpften

Schwingung, wenn man ein Federpendel mit einer Masse von 100 g und die oben beschriebene Feder verwendet?

b. Eine sehr genaue Messung der Schwingungsdauer ergibt den Wert von 0,32 s. Wie groß ist die Abklingkonstante ?

c. Mit welcher Frequenz R muss die Aufhängung periodisch bewegt werden, um das Resonanzmaximum zu erhalten?

d. Wie groß muss das Maximum der periodisch erregenden Kraft sein, die bei der Resonanzfrequenz R eine Resonanzamplitude von 20 cm erzeugt??

--- -

Dichtewerte unter Standardbedingungen: _Meerwasser 1,03g cm^3, _Stahl 7,85g cm^3, 13,595 3

Hg g cm

  ^ , Luft ^{1, 293}kg m^3. Mittlerer Erdradius: RErde ⁶³⁷¹km.

--- -

Verwenden Sie zur Vereinfachung mit Ausnahme von Aufgabe 3 den Wert g = 10 m s^-2.

Lösungen:

1. Auf die Unterwasserforschungsstation wirken drei Kräfte: Die Auftriebskraft FA, die

Gewichtskraft Fg und die Seilkraft FS. Voraussetzung ist, dass die Auftriebskraft größer ist als die entgegengesetzt gerichtete Gewichtskraft, so dass deren Differenz die Seilkraft ergibt.

Es gilt: Fg FS FA

mit: FA Wasser V g

mit: Fg  m g

Es folgt: FS FAFg Wasser   V g m g

 

S Wasser

F    V m g

3

3 3 4 2

1,03 10 75000 10

3 2

S

F   kg m^     D  kg ms^



^{1,03 103 3 113, 09 3 75000}



^{10 2}

FS   kg m^  m  kg  ms^



^{116490 75000}



^{10 2}

FS  kg kg  ms^

Ergebnis: FS ^414,9kN

2. Ein an der Oberfläche einer Flüssigkeit schwimmender Körper verdrängt ein Volumen, dessen Gewichtskraft gleich der Gewichtskraft des Körpers ist.

Es gilt: FlüssigkeitVeingetaucht g mKörperg

Flüssigkeit Veingetaucht g Körper VKörper g

     

Es folgt: ^{7,85 0,5774}

13,595

eingetaucht Körper Stahl

Körper Flüssigkeit Hg

V V

 

 

   

Es tauchen als 57,74% des Volumens unter und 42,26% ragen heraus.

3a. Der Luftdruck von p0 1013, 25hPa entspricht der Gewichtskraft einer Luftsäule mit einer Höhe bis zum Atmosphärenrand bezogen auf eine Fläche von 1 m². Setzt man die

Bezugsfläche gleich der Erdoberfläche AErde, so erhält man die Gesamtmasse der Luft mLuft.

, 0

g Luft Luft

Erde Erde

F m g

p A A

  

mit: ^{AErde 4RErde2 4}



^{6,371 10 6}



^2m2

14 2

5,1005 10 AErde   m

Masse der Luft: Luft ^{0 Erde}

m p A g

 

2 1 2 14 2

2

1013, 25 10 5,1006 10

Luft 9,81

kg m s m

m m s

 



  



5, 268 1018

mLuft   kg

3b. Der Standarddruck p0 am Boden entsteht durch die Gewichtskraft der gesamten Luftsäule oberhalb der Bezugsfläche: ₀ m^{ges Luft,} g

p A

 

Der Luftdruck in der Flughöhe h entsteht durch die Gewichtskraft der Luftsäule die sich oberhalb der Höhe h befindet.

, h Luft h

m g

p A

 

Mit der barometrischen Höhenformel kann der Druck in der Höhe h berechnet werden.



11



0 ⁰⁰

gh p

ph p h km p e

  

   

Es folgt:

0 0 0

, 0 0

, 0 0

gh g

p h

h Luft h p

ges Luft

m p p e

m p p e

 

    

   

Lösung:

3 2

0

1 2 0

1,293 9,81

11000

, 1013,25

,

kg m m s

gh m

h Luft p kg m s

ges Luft

m e e

m

 ^{ }

 

   

 

 

3 2

2 1 2

1,293 9,81 11000

, 1013,25 10 1,37703

,

0, 2523

kg m m s m

h Luft kg m s

ges Luft

m e e

m

 

 

  

 

  

Es befinden sich also 25,23% der Luftmasse oberhalb und 74,76% unterhalb des Flugzeugs.

4. Beim mathematischen Pendel verwendet man gilt für die Eigenkreisfrequenz:

0

g

  L

2

1 0

10 3,162

1

g m s

l m s

   ^  ^

Lösung: 0

0

2 1,987

T  s

  

4b. Physikalisches Pendel: 0

ges ges

m g d

 J 



mit d = Abstand Dreh- zum Schwerpunkt.

Es gilt:

3

2 2 3

2 4

S S S

S S S

L m L

m m L

d L

m m m

 

  

  

 3 1 0,75 d  4 m m

,1 ,2

ges S S

J J J

Massenträgheitsmoment Stange 1 ("dünne Stange mit Drehpunkt am Ende"):

2 2 2 2

,1

1 1 1

1 1

3 3 3

S S

J  m L   kg m  kg m Massenträgheitsmoment Stange 2 ("dünne Stange mit Drehpunkt in der Mitte" plus Steinerscher Anteil)

2 2

,2

1

S 12 S S

J  m L m L

2 2 2 2

,2

1 1 1 1 1

S 12

J   kg m  kg m

2 ,2

13

S 12

J  kg m

2 2

,1 ,2

1 13 17

3 12 12

ges S S

J J J   kg m  kg m Eigenkreisfrequenz:

2 2

0 2

2 10 0,75 240 0,75

17 17

12

kg m s m s

kg m

   ^    ^

2

1 0

180 3, 254 17

s s

  ^  ^

Lösung: 0

0

2 1,931

T  s

   4c. Für den Auslenkungswinkel nach 5·Te gilt:

 

5

0

5 T^e 0, 2 ^Te e ^





  

 

Näherungslösung:

 

0

 

0

ln 0, 2 1, 60943 ln 0, 2

5T_e 5 2 5 2

  

 

   

    

 

1

0, 05123 0 0,05123 3, 254

Näherung s

     ^

Ergebnis: _Näherung 0,1667s^1

Exakte Lösung:

2 2

ln 0, 2 0

ln 0, 2

5T_e 5 2

 

 

 

  



 

²



^{02 2}



2

2

ln 0, 2 100

 

 

 



 

²

 

²

2 2 2 2

100   ln 0, 2 0  ln 0, 2 

 

 

 

2 2 2

0 0

2 2

2

2

ln 0, 2

100 ln 0, 2 1 100

ln 0, 2

 

  

  

 

 

0 0

2 0 2

0,05116 19,5454

1 100 ln 0, 2

 

 

    



Ergebnis: _exakt 0, 05116 3, 254 s^1 0,1665s^1 Näherungslösung und exakte Lösung weichen ca. 0,12% voneinander ab.

4d. Es gilt: e² 0²²

2 2 2 2 2 2 1

0 3, 254 0,1665 3, 250

e s s s

       ^

Schwingungsdauer der gedämpften Schwingung:

2 2 2 2 2 2

0

2 2

3, 254 0,1665 Te

s s

 

 

 

 

2 2 2 2

2 1,928

3, 254 0,1665

Te s

s s

  



4e. Für die Anfangsbedingungen ^



^t0



und 



t0



0 gilt nach Formelsammlung die

allgemeine Lösung:

 

^{0 t sin}



e



e

t  e ^ t

 



    

Einsetzen:

 

¹ 1 ^{0,1665 120}



¹



20 10 sin 3, 250 20

3, 250

s s

t s s e s s

   ^s_  ^{ }  ^ 



t ²⁰s



3,0769 0,03579 0,8268

    

Lösung im Bogenmaß: ^



^{t 20s}



^0,09106

Lösung im Winkelmaß: ^



^{t 20s}



^{0,09106180}_ ^{5, 2}

5a. Federkonstante:

2

0, 2 10 1

0,05 40

F kg m s

D N m

s m

 

 

  



Eigen(kreis)frequenz der ungedämpften Schwingung:

2

1

0 2

40 20

0,1

D kg s

m s kg s

   ^  ^

Schwingungsdauer der ungedämpften Schwingung:

0 1

0

2 2

0,31415

20 10

T s s

s

  

 ^

   

5b. Gemessene Schwingungsdauer: Te^0,32s

Eigenfrequenz der gedämpften Schwingung: 2 2 ¹

19,635

e 0,32

e

T s s

 

    ^

Abklingkonstante:   ₀²_e²

2 2 1 1

20 19,635 s 3,8037s

   ^  ^

5c. Resonanzfrequenz: _R  ₀²2²  20² 2 3,8037² s^1 19, 2630 1

R s

  ^

Schwingungsdauer des Erregers: 2

0,3262

R R

T  s

 

5d. Resonanzamplitude: x_R^max x_R



_a   _R, 0,



  ^{ }

max

2 2

2 2

0 2

a R

R R

x f

  



 

  ^{ }

max max

2 2

2 2

0

/ 2

err R

R R

F m

x

  



 

Maximale Kraft des Erregers ^{Ferrmax  m xRmax}



^{02R2}



^2

^

^2R

^

²

 

²

^{ }

²

max 2 2 2

0,1 0, 2 20 19, 2630 2 3,8037 19, 2630

Ferr  kg m     s^

  

²



²

max 0,02 400 371,0632 146,5413 2

Ferr  kg m   s^

  

²



²

max 0,02 28,9368 146,5413 2

Ferr  kg m  s^

max 0,02 837,3384 21474,3526 2

Ferr  kg m  s^

max 2,9874 2,99 Ferr  N  N