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Das Feder-Schwere-Pendel Theorie
Am unteren Ende einer vertikal aufgehängten Feder mit der Federkonstanten D wird ein Körper befestigt, dessen Masse m so groß ist, dass die Masse der Feder vernachlässigt werden kann.
Der Körper und die Schraubenfeder bilden zusammen ein Feder-Schwere-Pendel.
Durch die Gewichtskraft FG
des Pendelkörpers wird die Feder um Δy vorgedehnt (siehe die in der Skizze eingezeichnete Vordehnung Δy
).
Wird das Pendel in vertikaler Richtung ausgelenkt und dann losgelassen, so schwingt der Pendelkörper längs einer vertikalen Achse auf und ab.
Für die bei der Schwingung auf- tretenden Dehnungen der Feder gilt das Hookesche Gesetz. Dämpfungs- verluste sind vernachlässigbar klein.
Zum Nachweis, dass das System harmonisch schwingt, wird für die rücktreibende Kraft Frück
ein lineares Kraftgesetz nachgewiesen.
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Gleichgewichtslage: FG FF= ⇔ m g =DΔy
Rücktreibende Kraft: Frück FF FG= =DΔyy0 m g
Frück D= ΔyD y0 DΔy
Frück D y0=
Frück
und y0
haben entgegengesetztes Vorzeichen:
Frück
Dy0
= lineares Kraftgesetz, also harmonische Schwingung.
Bemerkung: Die Schwingung ist unabhängig von der Vorspannung.
Bei einer harmonschen Schwingung gilt für die Bewegungsgleichung:
y t( )=y0 sin (ωt φ)
Befindet sich der Massenschwerpunkt zum Zeitpunkt t0 0 s= im oberen Umkehrpunkt, so gilt:
Momentane Elongation: y t( )=y0 cos (ωt)
Geschwindigkeit: v t( ) t
s t( )
( )
d d
= =y0ωsin(ωt)=v0sin(ωt)
Beschleunigung: a t( ) t
v t( ) d d
= 2
t y t( ) d d 2
= =y0ω2cos(ωt)=a0cos(ωt)
⇒ a t( )=ω2s t( )
Beispiel
Gegeben ist das Feder-Schwere-Pendel der Masse m1 1 kg , die Federkonstante beträgt D 2 N
m
.
a) Berechnen Sie die Schwingungsdauer T.
b) Stellen Sie das schwingende System und die Bewegungsgleichungen graphisch dar.
Teilaufgabe a)
Schwingungsdauer: T 2π m1
D
T4.443 s
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0 10 20 30
0.3
0.2
0.1 0.1 0.2 0.3 0.4
Weg, Geschwindigkeit und Beschleunigung
Zeit t
ymax ymax
T 2 T
Darstellung und Animation
rot: Elongation blau: Geschwindigkeit grün: Beschleunigung
Elongation: Elongation: Geschwindigkeit: Beschleunigung:
t 27 s2 y 0.11 m vK 0.08m
s aK 0.21 m
s2
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