Energie bei Schwingungen
Theorie
Jede harmonische Schwingung ist durch mindestens zwei Energieformen, die ineinander über- geführt werden können, gekennzeichnet. Es muss der Energieerhaltungssatz der Mechanik gelten:
Eges const=
Bei Federpendel wird kinetische Energie in Spannenergie und umgekehrt verwandelt.
Ekin 1
2m0v2
= , Espann 1 2Dy2
= ⇒ Ekin Espann =const
Momentane Elongation: y t( )=y0 sin (ωt φ)
Geschwindigkeit: v t( )
t
y0 sin (ωt φ)
d d
= =y0ωcos(ωt φ)
Ekin Epot 1
2m0
y0ωcos(ωt φ)
2 12D
y0 sin (ωtφ)
2=
Aus der Differentialgleichung der harmonischen Schwingung folgt: D=m0ω2
Ekin Epot 1
2m0y02ω2(cos(ωtφ))2 1
2m0ω2y02(sin(ωt φ))2
=
Ausklammern:
Ekin Epot 1
2m0y02ω2
(cos(ωt φ))2(sin(ωtφ))2
= 1
2m0y02ω2
=
Der Term E0 1
2m0y02ω2
= ist konstant.
Umformung: E0 1 2Dy02
=
Bemerkung:
E0 ist die Gesamtenergie, aber auch die Amplitude der kinetischen Energie und der Spannenergie.
Beispiel 1
Gegeben ist die Elongation einer Masse m0 0.12 kg= mit y t( ) 5.0cm cos 2.50π 1
st
.
a) Berechnen Sie die Richtgröße D.
b) Berechnen Sie die Funktion der Spannenergie Espann t( ) und stellen Sie beide Abhängig- keiten graphisch dar.
c) Berechnen Sie die Funktion der Geschwindigkeit v t( ) und der konetischen Energie Ekin t( ) und stellen Sie beide Abhängigkeiten graphisch dar.
d) Zeigen Sie graphisch, dass der Energieerhaltungssatz erfüllt ist.
Teilaufgabe a)
ω 2.50π 1
s
D 2.50π 1
s
2
0.12kg
D 7.4 N
m
Teilaufgabe b)
Espann t( ) 1
2D(y t( ))2
Espann t( )
93.0 cm 2kg cos 7.9 t s
2
s2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.06
0.04
0.02 0.02 0.04 0.06
0.01 0.005
0.005 0.01
Elongation y in m Spannenrgie in J
Zeit t in s
Elongation y in m Spannenergie in J
Teilaufgabe c)
v t( ) t
y t( ) d d
=
t
5.0cmcos 2.5π 1
st
d d
= 0.050 m 2.5π 1
s
sin 2.5π 1st
=
v t( ) 0.393 m
s sin 2.5π 1
st
Ekin 1
2m0(v t( ))2
=
Ekin t( ) 1
2mv02 sin 2.5π 1
st
2
= Ekin t( ) 9.267 10 3J sin 2.5π 1
st
2
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.4
0.3
0.1 0.1 0.3 0.4
0.01 0.005
0.005 0.01
Elongation y in m Geschwindigkeit v in m/s
Zeit t in s
Elongation y in m Kinetische Energie in J
Teilaufgabe d)
Eges t( ) 9.267 10 3J
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.0025 0.005 0.0075 0.01
Spannenergie Kinetische Energie Gesamtenergie
Zeit t in s
Elongation y in m
In folgendem Beispiel wird nicht nur die Spannenergie berücksichtigt, sondern auch die potentielle Energie im Schwerefeld der Erde.
Beispiel 2
Am unteren Ende einer vertikal aufgehängten Feder mit der Federkonstanten D 7.4 N
m
wird ein Körper befestigt, dessen Masse m so groß ist, dass die Masse der Feder vernach- lässigt werden kann. Der Körper und die Schraubenfeder bilden zusammen ein Feder- Schwere-Pendel.
Durch die Gewichtskraft FG
des Pendel- körpers wird die Feder um Δy vorgedehnt (siehe die in der Skizze eingezeichnete Vordehnung Δy
). Wird das Pendel in vertikaler Richtung ausgelenkt und dann losgelassen, so schwingt der Pendel- körper längs einer vertikalen Achse auf und ab. Für die bei der Schwingung auftretenden Dehnungen der Feder gilt das Hookesche Gesetz. Dämpfungsverluste sind vernachlässigbar klein.
a) Nennen Sie die drei mechanischen Energieformen, die bei der Schwingung des Federpendels eine Rolle spielen, und erläutern Sie die Energieumwandlungen, die bei der Bewegung des Pendelkörpers vom oberen Umkehrpunkt bis zum unteren Umkehrpunkt stattfinden.
b) Stellen Sie die Energien graphisch dar.
Teilaufgabe a)
Energie im oberen Umkehrpunkt:
Epoto m0 g 2y0 Epoto 0.118 J
Espanno 1
2D
Δyy0
2 Espanno 0.044 J
Ekino 0 Ekino 0
Epot
wird umgewandelt in Ekin und Espann Egeso Epoto Espanno Ekino Egeso 0.162 J
Energie in der Gleichgewichtslage:
Epotg m0 g y0 Epotg 0.059 J
Espanng 1
2D(Δy)2
Espanng 0.094 J
Eking 1
2m0
v02 Eking 0.00927 J
Epot und Ekin
werden umgewandelt in Espann
Egesg Epotg Espanng Eking Egesg 0.162 J
Energie im unteren Umkehrpunkt:
Epotu 0 Epotu 0
Espannu 1
2D
Δyy0
2 Espannu 0.162 J
Ekinu 0 Ekinu 0
Egesu Epotu Espannu Ekinu Egesu 0.162 J Teilaufgabe b)
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1
0.02 0.04 0.06 0.08 0.1 0.12 0.14 0.16 0.18 0.2
Spannenergie Lageenergie Bewegungsenergie
Energiediagramm
Zeit t in s
Energien in mJ
Eges T
4
T 4
T 2
