)tsin(I)t(I ϕ+ω= Wechselstromlehre

Wechselstromlehre

Wechselspannungen sind zeitlich periodische Spannungen der Ampli- tude U0 (U0 = Uss/2), der Grundfrequenz f (f = 1/T) und der Phasenla- ge ϕ.

Für die obere grafische Darstellung gilt:

) T t

sin( 2 U

) t

sin(

U )

t (

U =

ω + ϕ

=

π + ϕ

Im Falle sinusförmiger Spannungen sind die in Stromkreisen fließen- den Ströme ebenfalls sinusförmig, jedoch im allgemeinen mit einer anderen Phasenlage ϕ₂:

) t

sin(

I )

t (

I =

ω + ϕ

Ohm’sche Widerstände im Wechselstromkreis

Die Gesetze des Gleichstromkreises gelten im Wechselstromkreis für die Momentanwerte, d.h. insbesondere:

U(t) = R

I(t)

P(t) = U(t)

I(t)

Da die direkte Proportionalität zwischen Strom und Spannung am Ohm’schen Widerstand erhalten bleibt, besteht zwischen beiden Grö- ßen keine Phasenverschiebung, d.h. es gilt ϕ₁ = ϕ₂ = ϕ.

Für die Leistung führt man einen Mittelwert über die Periodendauer T ein:

0 0 2

0 T t

t

0 U I

2 dt 1 ) t ( sin I T U

P = 1 ⁺

∫

Damit kann man wegen P = U^.I = R^.I² = U²/R auch schreiben:

R U R

U 2 RI 1

2 RI P 1

2 eff 2

2 0 eff 2

0

= = =

=

mit den Effektivwerten für Spannung und Strom

2 I I

2 und

U

= U

=

Eine Gleichspannung mit dem Effektivwert Ueff setzt am Ohm’schen Widerstand R dieselbe Leistung um, wie eine Wechselspannung mit der Amplitude U0. Der Begriff des Effektivwertes kann auf beliebige zeitlich periodische Spannungen ausgedehnt werden.

Beispiel Sägezahnspannung

T t 0 T für

U t ) t (

U = ₀ ≤ <

Für den zeitlichen Mittelwert erhält man:

2 dt U

T t U T dt 1 ) t ( T U

U 1

T

0 0 T

0

=

=

= ∫ ∫

Für den Effektivwert (quadratischen Mittelwert) gilt:

3 dt U

t T ) ( U T dt 1

) t ( T U

U 1

2 2 0

2 T

0

0 T

0 2 2

eff

= ∫ = ∫ =

3 U

= U

Dieses Ergebnis erhält man auch, wenn man die Sägezahnspannung als eine Überlagerung von Sinusspannungen darstellt und dann den Effektivwert für sinusförmige Spannungen verwendet. Eine periodi- sche Spannung kann mittels Fourieranalyse in ein diskretes Frequenz- spektrum zerlegt werden. Auf die einzelnen Spannungskomponenten können dann die Regeln für sinusförmige Spannungen angewandt werden.

Beispiel Sägezahnspannung

T t 0 T für

U t ) t (

U = ₀ ≤ <

Die Entwicklung einer periodischen „Sägezahnspannung“ in eine Fou- rierreihe ergibt folgendes Frequenzspektrum:

n }

) T / nt 2 2 sin(

2 { U U

) t ( U

1 n 0

0 n

n

∑

∑

=

∞

=

− π π π

=

=

Fourierentwicklung einer Sägezahnspannung T=1s ; U_max = 10V

-2 0 2 4 6 8 10 12

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 1,2 1,4 1,6

t/s

U/V

n=5 n=10 Sägezahn n=3

Zur Berechnung des Effektivwertes der Spannung summiert man die Effektivwerte (Leistungen) aller Summanden der Reihe:

Für die Komponente n = 0 (Gleichspannungskomponente ) folgt:

4 U U

U

2 2 0

0 eff 2

gleich

eff₋ = =

Für die sinusförmigen Komponenten erhält man:

( )

U U U

2 0 2

2 2 0 1

n 2

2 2 2 0 1

n 2 effn 2

sin

eff π =

= π

= π

=

∑ ∑

=

∞

=

−

Die Summe beider Beträge ergibt U²eff = U²0/3 bzw. Ueff = U0/√3.

Dieses Resultat stimmt mit vorheriger Rechnung überein.