J. M¨uller Wintersemester 2018/2019 02.01.2019
9. ¨Ubung zur Funktionalanalysis
A30: Es seien X ein unit¨arer Raum und L⊂X ein Teilraum. Zeigen Sie:
a) L⊥ ist ein abgeschlossener Teilraum von X.
b) L⊂L⊥⊥:= (L⊥)⊥.
c) IstX ein Hilbertraum, so istL⊥⊥ der Abschluss vonL.
A31: Es seien X, Y Hilbertr¨aume und T ∈L(X, Y). Zeigen Sie:
a) kT∗Tk=kT T∗k=kTk2.
b) Ist X =Y und T =T∗, so ist r(T) =kTk.
A32: Es seien I = [−1,1] und T :L2(I)⊃D(T)→L2(I) definiert durch D(T) :=
f ∈C1(I) :f(−1) = f(1) = 0
und T f :=if0 f¨urf ∈D(T). Zeigen Sie unter Verwendung der Tatsache, dassD(T) dicht in L2(I) ist:
a) T ist symmetrisch.
b) T ist nicht selbstadjungiert.
