Aufgabe 1 (Landau-Notation). In welchen der folgenden Funktionsmengen sind die folgenden Funktionen enthalten (Mehrfachnennungen m¨ oglich)?

Universit¨ at Siegen

Lehrstuhl Theoretische Informatik Markus Lohrey und Eric N¨ oth

Algorithmen WS 2013/2014

Ubungsblatt 3 ¨

Aufgabe 1 (Landau-Notation). In welchen der folgenden Funktionsmengen sind die folgenden Funktionen enthalten (Mehrfachnennungen m¨ oglich)?

1. f ₁ (n) = ln ² (n). a) O (ln n), b) o(n), c) Ω(1/n).

2. f ₂ (n) = n + sin(πn). a) Θ(n), b) O (n ² ), c) O (sin n) 3. f ₃ (n) = P n

i=1 1

i . a) O (ln n), b) O ( P n i=1

1

i

, c) o(( P n i=1

1 i ) ² ).

Aufgabe 2 (Entscheidungsbaum). Zeichnen Sie den Entscheidungsbaum des Mergesort-Algorithmus auf eine Liste der L¨ ange vier. Wie groß ist der Ent- scheidungsbaum f¨ ur eine achtelementige Liste mindestens?

Aufgabe 3 (Diskrete Fourier-Tranformation). 1. Beschreiben Sie, in Ih- ren eigenen Worten, was die diskrete Fourier-Transformation ist, und nennen Sie eine Anwendung.

2. Zeigen Sie, dass die diskrete Fourier-Transformation F = F N (ω) eine lineare Abbildung ist, d.h. es gilt

F (a · f ) = a F(f ) F (f + g ) = F (f ) + F (g ) f¨ ur Funktionen f , g und eine Konstante a.

3. Schreiben Sie einen Pseudocode f¨ ur die inverse FFT.

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