Ubungsaufgaben: Nichtlineare Funktionalanalysis ¨ Serie 3
PD Dr. B. Rummler Sommersemester 2020 1) Berechnen Sie m¨ oglichst elegant die Integrale:
a)
(2πi)
−1I
S(0, 3) 1
z − 2 dz = ? b)
(2πi)
−1I
S(0, 3) e
ze
z− 1 dz = ? c)
(2πi)
−1I
S(0, 3) tan z dz = ? 2) (Aufl¨ osungssatz) Wir betrachten mit F : U (x
o, y
o
) = D(F ) ⊂ E
n× E
m→ E
mdas Gleichungssystem
F (x, y) = 0. (∗) Der Punkt: (x
o, y
o
) sei L¨ osung dieses Gleichungssystems.
Formulieren Sie als Folgerung aus Theorem 1.6 die Bedingungen f¨ ur die lokale Aufl¨ os- barkeit von (∗) nach y im Sinne von y : E
n→ E
mbei y(x
o) = y
o
. 3) Zeigen Sie das nachfolgende lokale Invertierungs-Prinzip:
Vorgegeben sei die C
1-Abbildung F : U (x
o) ⊂ X → Y , wobei X und Y Banachr¨ aume
¨ uber dem K¨ orper K seien. F ist genau dann ein C
1-Diffeomorphismus, wenn die Frechetableitung F
0(x
o) bijektiv ist. (Unter einem (lokalen) C
1-Diffeomorphismus versteht man im obigen Sinne eine bijektive Abbildung F : U (x
o) → F (U (x
o)) mit den C
1-Abbildungen F und F
−1.)
4) (Schauder Operatoren)
Es seien H ein reeller separabler unendlich-dimensionaler Hilbertraum und M :=
{x ∈ H : ||x|| ≤ 1} = K (o
H, 1) die abgeschlossene Einheitskugel in H ausgestattet mit der durch die Norm von H induzierten Metrik. Jedes x ∈ H habe die Fourier- Darstellung x = P
∞j=1
a
jw
j.
Untersuchen Sie die unten erkl¨ arten Abbildungen T
1, T
2und T
3hinsichtlich ihrer Stetigkeit und Vollstetigkeit. Geben Sie im Falle der Vollstetigkeit einer Abbildung die Schauder Operatoren P
8an!
(a) T
1: D(T
1) = M → E
1mit T
1(x) := ( p
1 − ||x||
2) ∀ x ∈ M . (b) T
2: D(T
1) = M → E
1mit T
2(x) := ||x||sgn(a
1) ∀ x ∈ M .
(c) T
3: D(T
1) = M → H mit T
3(x) = T
3(
∞
X
j=1
a
jw
j) :=
∞
X
j=1
