PD Dr. J. Wolf
Humboldt-Universit¨at zu Berlin Institut f¨ur Mathematik
www2.mathematik.hu-berlin.de/∼ jwolf
E-Mail: jwolf@math.hu-berlin.de 06. April 2016
Nichtlineare Funktionalanalysis - SoSe 2016 Ubungsblatt 3 ¨
(Besprechung in der ¨Ubung am 13. Mai 2016)
Aufgabe 1
Sei X =W01,2((0,2)). Wir definieren das Funktional F :X →R durch
F(u) =
2
Z
0
(u0(t))2dt+
2
Z
0
u(t)dt, u∈X.
(a) Zeigen Sie, das F ∈C∞(X) und bestimmen SieDkF f¨ur k∈N.
(b) Untersuchen SieF auf lokale und globale Extrema und bestimmen Sie diese gege- benfalls.
Aufgabe 2
Sei X ein Banachraum. Zeigen Sie, dass f¨ur alle T ∈ L(X, X) mit kTk < 1 gilt:
I+T ∈ISO(X, X), so dass
(I+T)−1 =
∞
X
k=0
(−1)kTk.
Schließen Sie hieraus, dass ISO(X, X) eine offene Teilmenge von L(X, X) ist.
Aufgabe 3
Sei F :R3 →R2 gegeben durch
F(x1, x2, x3) =
x21+x22+x23−5 x41+x42+x43−17
, (x1, x2, x3)∈R3.
(a) Zeigen Sie: Es existiert einδ >0 und eine differenzierbare Abbildung Φ : (−δ, δ)→ R2, so dass
F(t,Φ(t)) = 0 ∀t∈(−δ, δ), Φ1(0) = 1, Φ2(0) = 2.
Ferner berechne man die Ableitung Φ0 : (−δ, δ)→R2. (b) Zeigen Sie, dass F keine isolierte Nullstelle besitzt.
