Universit¨at Karlsruhe Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie
Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 08
Prof. Dr. P. W¨olfle Musterl¨osung
Dr. M. Greiter Blatt 12
1. Alle thermodynamischen Zustandgr¨ossen, z.B. innere Energie U, Entropie S, freie Energie F =U−T S, großkanonisches Potential Ω =U−T S−µN etc. Beispiel f¨ur das Differential:
U =U(S, V, N) : dU = ∂U
∂SdS+ ∂U
∂V dV + ∂U
∂NdN =TdS−pdV +µdN.
Nur δQ und δW sind keine Zustandgr¨ossen.
2. U = f
2NkT, pV =NkT
3. In der ph¨anomenologischen Thermodynamik gilt f¨ur eine reversible Zustands¨ande- rung von Zustand a zum Zustand b:
S(b)−S(a) =
b
Z
a
δQ T
In der Statistik wird definiert:
S =−kTr[ ˆW ln( ˆW) ] =−kX
α
wαln(wα)
mit dem statistischen Operator ˆW bzw. dessen Eigenwerten wα.
Die Entropie wird in der Statistik eingef¨uhrt als das “Maß f¨ur die Unwissenheit ¨uber den Mikrozustand, in dem sich das System befindet”. Das Grundaxiom der Statistik ist, daß diese Unwissenheit im Gleichgewicht maximal wird.
4. Der Unterschied liegt in den experimentellen Randbedingungen, die an das System gestellt werden:
mikrokanonisch: abgeschlossen
kanonisch: in Kontakt mit einem W¨armebad
großkanonisch: in Kontakt mit einem W¨armebadund einem Teilchenbad 5. Die Entropie ist im Gleichgewicht maximal.
Die thermodynamischen Potentiale sind im Gleichgewicht minimal.
(Genau genommen muß man dazu f¨ur jede Gesamtheit das passende Potential be- trachten:
mikrokanonisch: Potential =−S
kanonisch: Potential = freie Energie F =U −T S
großkanonisch: Potential = großkan. Potential Ω =U−T S+µN)
6. Eine extensive Gr¨oße ist proportional zur Systemgr¨oße (Stoffmenge), eine intensive ist unabh¨angig davon.
Beispiele:
Extensiv: S, U, V, N, F,Ω, M (Magnetisierung), Intensiv: T, µ, p, B (Magnetfeld)
7. Thermodynamischer Limes: Die Stoffmenge geht bei konstanter Dichte nach unend- lich, d.h.,
S, U, V, N, . . .→ ∞ wobei N/V, S/N, U/N, U/V, . . .= const.
8. (a) Die kanonische Zustandssumme ist definiert als ZK =X
α
e−βEα
Alles weitere gewinnt man daraus durch Ableiten:
U =hEi=X
α
Eαe−βEα =− 1 ZK
∂ZK
∂β cV = ∂U
∂T =−kβ2∂U
∂β
(b) Die großkanonische Zustandssumme ist definiert als ZG =X
α
e−β(Eα−µNα)
Alles weitere gewinnt man daraus durch Ableiten:
U =hEi=X
α
Eαe−β(Eα−µNα) =− 1 ZG
∂ZG
∂β
βµ=const.
cV = ∂U
∂T =−kβ2∂U
∂β
9. F¨ur nicht wechselwirkende und unterscheidbare (weil angeordnet = lokalisiert) Teil- systeme faktorisiert die Zustandssumme:
ZK = (Z1)N, Z1 =
∞
X
n=0
e−βεn, F =−kTln(ZK) =−NkT ln(Z1)
10. (a) χ(T)∝ 1
T (Curie-Gesetz) (b) χ(T)∝ 1
T −Tc
(Curie–Weiss-Gesetz) (c) χ(T)∝const. (Pauli-Suszeptibilit¨at)
11. Zustandsdichte:
N(ε) = 1 V
X
k
δ(ε−ε(k)) =
Z ddk
(2π)dδ(ε−ε(k))
Das Integral umfaßt den gesamten (unendlichen) k-Raum; es wurde f¨ur periodische Randbedingungen dk = 2πL benutzt (siehe z.B. Blatt 3, Aufgabe 3).
Bei der Berechnung nutzt man nat¨urlich die Isotropie der Dispersion aus, d.h., in d= 2 Polarkoordinaten, in d= 3 Kugelkoordinaten !
12. (a) Die kanonische Zustandssumme und innere Energie sind:
ZK = (Z1)N, Z1 =X
k
e−βε(k)= Z
dεN(ε)e−βε,
U(T, V, N) =−N 1 Z1
∂Z1
∂β =N
R dε ε e−βε R dε e−βε
wobei man in einer praktischen Rechnung wohl die Zustandsdichte einsetzen w¨urde, wie hier geschehen.
(b) Bei identischen Teilchen ist eine kanonische Rechnung sehr unpraktisch, man rechnet statt dessen großkanonisch und eliminiert sp¨ater das chem. Potential µ(T, V, N) :
Bosonen:
U(T, V, µ) =X
k
ε(k)g(ε(k)−µ), N(T, V, µ) =X
k
g(ε(k)−µ)
⇒µ(T, V, N) =. . .⇒U(T, V, N) =U(T, V, µ(T, V, N)) (c) Fermionen:
U(T, V, µ) = 2X
k
ε(k)f(ε(k)−µ), N(T, V, µ) = 2X
k
f(ε(k)−µ)
⇒µ(T, V, N) =. . .⇒U(T, V, N) =U(T, V, µ(T, V, N)) Der Vorfaktor 2 ber¨ucksichtigt einen Spin 1/2 (falls vorhanden).
In der praktischen Rechnung wird man wieder die Summe durch ein Integral im k-Raum oder ¨uber die Zustandsdichte ersetzen:
X
k
F(k) =V
Z ddk
(2π)dF(k) =V Z
dεN(ε)F(ε)
13. Fermionen: WennT →0 , sammeln sich die Fermionen im Grundzustand, der Fermi- Kugel. Diese ist charakterisiert durch den Fermi-Wellenvektor kF (Radius der Fermi- Kugel) und die entsprechende Fermi-Energie εF = ε(kF) . kF folgt nat¨urlich aus der Bedingung, daß die Fermi-Kugel alle N Fermionen enth¨alt. µ(T) l¨auft gegen die Fermi-Energie, µ(T →0) =εF .
Bosonen: Wenn T abgesenkt wird, tritt bei einer bestimmten Temperatur T0 Bose- Kondensation ein, und die Bosonen beginnen, sich im tiefsten verf¨ugbaren Einteilchen- Zustand mit Wellenvektork= 0 zu sammeln, dessen Besetzung damit makroskopisch wird,N0/N =O(1) . BeiT = 0 befinden sich alle Bosonen ink= 0 . µ(T) ist negativ und wird null f¨ur T →T0. F¨urT < T0 bleibt µ= 0 .
14. kanonisch:
(a)
WˆK = 1 ZK
e−βHˆ, ZK = Tr[e−βHˆ ] (b) großkanonisch:
WˆG= 1 ZG
e−β( ˆH−µN)ˆ , ZG= Tr[e−β( ˆH−µNˆ)] (c) mikrokanonisch:
Wˆm= 1 Ω
X
α
|αihα|,Ω = #{|αi}
(... hat kaum praktische Bedeutung. Mikrokanonisch iat das System komplett iso- liert; zu gegebenenU, V, N, . . . gibt es einen Satz{|αi}entarteter Mikrozust¨ande (Entartungsgrad Ω), die mit gleicher Wahscheinlichkeit eingenommen werden k¨onnen (das maximiert die Entropie).)
15. f(p,r) d3pd3r ist die Wahrscheinlichkeit, ein Teilchen in dem Phasenraumelement um (p,r) anzutreffen.
16. Der Nutzen ist die n¨aherungsweise Berechnung eines wechselwirkenden Systems. Das Heisenberg-Modell exakt zu l¨osen, ist z.B. nur in 1 Dimension m¨oglich (das Ising- Modell ist immerhin auch noch in 2 Dimensionen l¨osbar (Onsager)). Die beste Me- thode f¨ur eine Molekularfeldn¨aherung ist die thermodynamische Variationsrechnung, siehe Skript und Blatt 10 Aufgabe 1.
17. In einem magnetischen System wie dem Heisenberg-Modell oder Ising-Modell ist der geeignete Ordnungsparameter der Mittelwert eines Spins, hSii. Im einfachsten Fall des ferromagnetischen Modells (wie in der Vorlesung behandelt), ist dies ¨aquivalent zur Magnetisierung m pro Gitterplatz.
Am Phasen¨ubergang wird die Magnetisierung von null verschieden: m(T) 6= 0 f¨ur T < Tc. Dies zeigt eine magnetische Ordnung an, denn m 6= 0 bedeutet, daß ein einzelner Spin selbst im Mittel in eine bestimmte Richtung zeigt.
Der Phasen¨ubergang im Heisenberg- oder Ising-Modell ist von 2. Ordnung, denn m(T) verl¨auft bei Tc stetig. Beim ¨Ubergang 1. Ordnung w¨urde der Ordnungspara- meter bei Tc auf einen endlichen Wert springen (siehe Blatt 11 Aufgabe 2).
18. Das Landau-Funktional wird aus prinzipiellen Symmetrie¨uberlegungen gewonnen (Vor- lesung) oder aus anderen N¨aherungsausdr¨ucken f¨ur die freie Energie abgeleitet (z.B.
Blatt 11 Aufgabe 1). Es sollte in der N¨ahe eines Phasen¨ubergangs g¨ultig sein.
Beispiel: magnetisches System (wie Blatt 11 Aufgabe 1) F(T, m) =F0
1 2
T −Tc
Tc
m2+1 4b m4
Das Landau-Funktional ist noch nicht die freie Energie ! Erst wenn der Gleichge- wichtswert des Ordnungsparameters, der sich aus der Bedingung F(T, m) = min.
ergibt, wieder eingesetzt wird, erh¨alt man die freie Energie F(T) = F(T, m(T)) . Das Landau-Funktional ist also ein Funktional im selben Sinne wie die Wirkung in der Mechanik.
19.
p+a n2
(V −N b) =N kT, n = N V
Dabei istN bdas “Kovolumen”, das durch die kurzreichweitige Abstoßung (harte Ku- geln) entsteht, unda n2ein “Binnendruck” aufgrund der langreichweitigen Anziehung der Teilchen.
