1
Die N Kugeln sind in der Reihenfolge 1;2;:::;N von links nah rehts auf der Ahse an-
geordnet. Die Kugelmittelpunkte haben die Koordinaten x
1
;x
2
;:::;x
N
. Die Zustandssumme im
klassishen Grenzfall lautet
Z kl
K
= 1
N!
1
Z
1 dp
1 dp
N
(2h) N
exp [ N
X
i=1 p
2
i
2mkT
℄ 1
Z
1 dx
1 dx
N exp [
1
kT V(fx
i g)℄
Der kinetishe Anteilistwie ublih
1
Z
1 dp
2h e
p 2
=2mkT
= s
mkT
2h 2
1
T
Im PotentialanteilshranktV lediglihdieIntegrationsgrenzenein:
N =1 : 1
Z
1 dxe
V(x)=kT
= L
Z
0 dx
N =2 : 1
Z
1 dx
1 dx
2 e
V(x1;x2)=kT
= L
Z
2r dx
2 x2 2r
Z
0 dx
1
N =N : 1
Z
1 dx
1 dx
N e
V(fx
i g)=kT
= L
Z
(N 1)2r dx
N x
N 2r
Z
(N 2)2r dx
N 1 x
N 1 2r
Z
(N 3)2r dx
N 2
x3 2r
Z
2r dx
2 x2 2r
Z
0 dx
1
Nun istes noh hilfreih,neue Integrationsvariableneinzufuhren, y
i
=x
i
(i 1)2r, also
y
1
=x
1
; y
2
=x
2
2r ; y
3
=x
3
2(2r) ; ::: ; y
N
=x
N
(N 1)2r
damit folgt
Z kl
K
= 1
N!
1
T
N
L (N 1)2r
Z
0
dy
N y
N
Z
0 dy
N 1
y
4
Z
0 dy
3 y
3
Z
0 dy
2 y
2
Z
0 dy
1
| {z }
= 1
1 y
2
| {z }
= 1
2 y
2
3
| {z }
= 1
2 1
3 y
3
4
| {z }
= 1
[L (N 1)2r℄ N
Resultat:
Z kl
K
(T;L;N)= 1
N!
1
T
N
[L (N 1)2r℄ N
N!
Die freie Energie istdann (mit Stirling)
F(T;L;N)= kT ln(Z kl
k
)=NkT (
ln
T
L (N 1)2r
!
+2ln(N) 2 )
Und der Druk bzw. dieZustandsgleihung lauten
p=
F
L
!
T;N
=NkT
L
ln[L (N 1)2r℄ ; p
~
L=NkT ;
~
L=L (N 1)2r
2
Gleihgewihtswertvon (Gleihgewihteigentlihnur,wennauhbestimmtundeingesetzt
wird ...):
F
=0=d+g ; = d
g
; F()=a(T T
0 ) [
d 2
2g b℄
| {z }
=:
~
b
2
+ 3
QualitativerVerlaufvonF():
T= gross
T= klein T~Tc
−30
−20
−10 0 10 20 30 40 50
0 1 2 3 4 5
Man sieht: fur groe Temperatur gibt es ein Minimum bei = 0, fur kleine T eines bei einem
endlihen
0
> 0 und beieiner bestimmten Temperatur T
dazwishen ist gerade F(
0
) =F(0).
Von T > T
kommend wird also der Gleihgewihtswert von = 0 zu =
0
springen ,
Phasenubergang 1.Ordnung bei T
,.
FurT
brauhen wir also
0
und F(
0 ):
F
=0=a(T T
0 ) 2
~
b+3 2
;
=
~
b
3
"
1 s
1 3a
~
b 2
(T T
0 )
#
Die ( )-Losung korrespondiertzu dem Maximum, alsoist
0
=
+ .
Bei T =T
entarten diebeiden Minima bei =0und =
0 , d.h.,
0=F(0)=F(
0 )=
h
a(T T
0 )
~
b
0 +
2
0 i
0
Jetzt muman
0
einsetzen, oder z.B. (T T
0
) durh
0
ausdruken !
F(
0 )=
h
(2
~
b
0 3
2
0 )
~
b
0 +
2
0 i
0
=[
~
b 2
0
℄ 2
0
=0 !
~
b =2
0 (T
)
Aus der letzten Gleihung ergibt sihnah quadrieren
T
=T
0 +
~
b 2
4a
Verlaufvon (T):
T =T
Æ : (T)=
0
T =T
+Æ : (T)=0 9
>
>
=
>
>
;
! (T)j
T'T
=
0 (T
T)
Verlaufvon (T):
= d
g
! (T)j
T'T
= d
g
0 (T
T)
LatenteWarme:
Q
l
=T S ; S =S(T =T
+Æ) S(T =T
Æ)S
>
S
<
Entropie:
S = F
T
=
F
!
T
T
F
T
!
T =T
+Æ : (T)=0 fur alleT >T
! F(T)0 ! S
>
=0
T =T
Æ : (T)=
0 (T) ;
F
!
T
= F
0
=0 ;
F
T
!
= F
T
0
=a
0
Damit folgt
T =T
Æ : S
<
= a
0 (T
) ;
0 (T
)=
~
b
2
von oben ; Q
l
=T
a
~
b
2
3
Miteinem Wehselwirkungspotentialder Form u(r)="u
(r=a
0
) lautetdieZustandssumme
im klassishen Grenzfall:
Z kl
K
= 1
N!
Z
d 3
p
1 d
3
p
N
(2h) 3N
exp ( N
X
i=1 p
2
i
2mkT )
Z
V d
3
r
1
Z
V d
3
r
N exp (
"
2kT N
X
i6=j=1 u
( 1
a
0 [r
i r
j
℄))
In dem von den r
i
abhangigen Teilfuhrenwir dimensionsloseVariablenein:
r
i
= 1
a
0 r
i
; T
= kT
"
damit werden dieIntegrale
Z
V d
3
r
i
=(a
0 )
3 Z
V
d 3
r
i
; V
= V
(a
0 )
3
Die Impulsintegraleergeben (wie
ublih)1=
T
pro Freiheitsgrad, also
Z kl
K
= 1
N!
1
T
3N
(a
0 )
3N
Q
; Q
(T
;V
;N)= Z
V
d 3
r
1 d
3
r
N exp(
1
2T
X
i6=j u
(r
i r
j ))
Q
ist eine Art Zustandssumme, die dimensionslos ist und nur von dimensionslosen Groen
abhangt. Fur die Zustandsgleihung brauhen wir nur die V-Abhangigkeit, die komplett in Q
stekt. Um Z insgesamt inSkalenform zu bringen, mussen wir nohdas T in
T
ersetzen,
T
= s
2h 2
mkT
= s
2h 2
m"
1
p
T
0 1
p
T
Damit istdieSkalenform furZ:
Z kl
K
(T;V;N)= 1
N!
a
0
0
3N
(T
) 3N =2
Q
(T
;V
;N)
mit
T
= kT
"
; V
= V
(a
0 )
3
;
0
= s
2h 2
m"
Die Skalenfunktion Q
ist naturlih nur explizit bekannt, wenn man ein Potential einsetzt und
ausrehnet (fallsman kann). Fur dieAussage der thermodynamishen
Ahnlihkeit der Zustands-
gleihung ist das aber niht notig:
Druk/Zustandsgleihung:
p=
F
V
!
T;N
= 1
(a
0 )
3 F
V
!
T
;N
=
"
(a
0 )
3 T
ln(Q
)
V
!
T
;N
das heit,
p=p
p
0
; p
0
=
"
(a
0 )
3
; p
(T
;V
;N)=T
V
lnQ
(T
;V
;N)
!
T
;N
