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Klassische Theoretische Physik I WS 2018/2019
Prof. Dr. J. Schmalian Blatt 11
M. Hecker, E. Kiselev und Dr. R. Willa Abgabe 15.01.2019
Infobox: Anmeldung Vorleistung
Die Anmeldung zur Vorleistung ist im Campus System untercampus.studium.kit.edufreige- schaltet, und bis einschließlich Samstag (02.02.19) um 12:00 Uhr m¨oglich.
Die (Wieder-)Abmeldung von der Vorleistung ist ebenfalls nur bis zum 02.02.19 m¨oglich.
Infobox: Saal¨ubung
Die Saal¨ubung vom 9. Januar f¨allt aus.
Einleitende Definitionen zu Matrizen
Das Produkt AB zweiern×nMatrizenA undB mit den Eintr¨agenaij undbij in der Zeilei und Spaltej ergibt eine neue MatrixC mit den Eintr¨agen
cij=
n
X
k=1
aikbkj, (1)
Oft wird auf das Summationszeichen verzichtet und angenommen, dass ¨uber zweifach auftretende Indizes summiert wird, also cij = aikbkj. Achtung: im Allgemeinen ist das Produkt zweier Matrizen nicht kommutativ, d.h. AB6=BA. Das ProduktAv einern×nMatrixAmit einem n-dimensionalen (Spalten-)Vektor v = (v1, v2, . . . , vn)T ist ein neuer Vektor der Form w = (w1, w2, . . . , wn)T, mitwi=aikvk.
Beim sogenanntenTransponieren einer Matrix oder eines Vektors werden die Rolle von Spalten und Zeilen vertauscht. Der Eintragij der Transponierten MatrixAT ist gleich dem Eintrag ji der urspr¨unglichen MatrixA, oder (AT)ij =Aji. Es gilt die Eigenschaft (Av)T =vTAT. Die Eintr¨ageδij derEinheitsmatrix 1sind 1 auf der Diagonalen (d.h.δii= 1) und ansonsten 0 (d.h.δij = 0 f¨uri6=j). Damit entspricht die Komponentenschreibweiseδijgenau dem Kronecker- Symbol (vergl. Blatt 4).
Die MatrixM ist dieInverse vonA, wenn giltAM =1. Man bezeichnetM auch alsA−1. Die Determinante ist eine skalare Kenngr¨oße einer Matrix. F¨ur eine 2×2 MatrixA berechnet sie sich als
detA=
a11 a12 a21 a22
=a11a22−a12a21, (2)
und f¨ur eine 3×3 MatrixB= (b1,b2,b3) erh¨alt man sie als Spatprodukt detB =b1·(b2×b3).
Die Regel von Sarrusstellt eine alternative Methode zur Determinantenberechnung einer 3×3 Matrix dar (siehe z.B. Wikipedia-Artikel).
1. Matrizen (25 Punkte)
Gegeben seien die Matrizen A=
2 a a −1
, B= 1 1
1 0
, C=
1 0 2
0 −1 1
2 0 1
, D=
0 −2 0
2 0 1
0 −2 2
.
(a) Berechnen Sie die ProdukteAB, BA, CD und DC. Wie m¨ussen Sie a w¨ahlen, damit die MatrizenAundB kommutieren ?
(b) Gegeben sei der Vektorv= (1,2,3)T. Berechnen Siev0=Cv.
(c) Berechnen Sie die Determinanten vonB undC.
(d) Berechnen Sie die Inverse MatrixB−1. Multiplizieren Sie dazuB mit einer allgemeinen 2×2 Matrix, und bestimmen Sie deren Eintr¨age.1
1Es gibt systematischere Verfahren um die Inverse einer Matrix zu bestimmen. Dies geht jedoch ¨uber den Rahmen dieser ¨Ubung hinaus.
2. Drehmatrizen (25 Punkte) Eine Dreh- oder Rotationsmatrix R ist eine reelle, orthogonale Matrix mit Determinante detR = 1. Eine orthogonale Matrix O ist eine Matrix, deren Spalten- und Zeilenvektoren paarweise orthogonal zueinander sind. ¨Aquivalent gilt f¨ur eine orthogonale Matrix, dass OT =O−1.
(a) Zeigen Sie, dass es sich bei den Matrizen Rz(α) =
cos(α) - sin(α) 0 sin(α) cos(α) 0
0 0 1
, Ry(α) =
cos(α) 0 sin(α)
0 1 0
- sin(α) 0 cos(α)
, Rx(α) =
1 0 0
0 cos(α) - sin(α) 0 sin(α) cos(α)
um Drehmatrizen handelt.
Tipp: Es gen¨ugt, die Eigenschaften f¨ur eine der drei Matrizen nachzurechnen.
(b) Zeigen Sie, dass die L¨ange eines Vektors unver¨andert bleibt nach Multiplikation mit einer Drehmatrix, d.h.|v0|=|v|wobeiv0=Rv.Tipp: Betrachten Sie (v0)Tv0.
(c) Zeigen Sie explizit, dass Rz(α)Rz(β) =Rz(α+β) gilt: Sukzessive Rotationenentlang derselben Achsek¨onnen also in beliebiger Reihenfolge ausgef¨uhrt werden. Folgern Sie daraus die BeziehungRz−1(α) =Rz(−α).
Tipp: Die trigonometrischen Identit¨aten cos(α+β) = cos(α) cos(β)−sin(α) sin(β) und sin(α+β) = cos(α) sin(β) + sin(α) cos(β) k¨onnen n¨utzlich sein.
(d) Berechnen Sie die Vektorenv1=Ry(−π2)Rz(π4)exundv2=Rz(π4)Ry(−π2)ex, und skiz- zieren Sie dabei jeweils den Pfad, den der Vektorexauf einer Kugeloberfl¨ache zur¨ucklegt.
3. Bezugssysteme (25 Punkte)
In dieser Aufgabe wollen wir dieselbe Bewegung aus verschiedenen Bezugssystemen betrach- ten. F¨ur ein KoordinatensystemK0 welches gegen¨uber einem KoordinatensystemKum den Vektord(t) verschoben und um den Winkelα(t) (gegen den Uhrzeigersinn) gedreht ist, er- geben sich die neuen Koordinaten aus den alten viar0 =R−1α [α(t)]r−d(t), mit Rα einer Rotationsmatrix um die (im Allgemeinen auch zeitabh¨angige) Achseα. Sind der Drehwinkel αkonstant und die Verschiebungd(t) =wt+b(mitw,bkonstant) maximal linear in der Zeit, so spricht man von einer Galilei-Transformation. Eine solche beschreibt die Transfor- mation zwischen zwei Intertialsystemen.
Ein Teilchen bewege sich im InertialsystemB(0), das durch die Einheitsvektorenex,ey,ez
aufgespannt wird, auf der Bahnkurve (mitR0,ω konstant) r(t) =R0[cos(ωt),sin(ωt),0]T.
Geben Sie die Bahnkurve in den BezugssystemenB(a)-B(d)an, wobei
(a) B(a) ausB(0) durch eine Verschiebung des Ursprungs um den Vektor d=d0ey hervor- geht (d0konstant).
(b) B(b) sich gegen¨uberB(0) relativ mit der Geschwindigkeit v =R2ωex (R2, ω konstant) bewegt. Zum Zeitpunktt= 0 sollen beide Koordinatenurspr¨unge zusammenfallen. Skiz- zieren Sie die Bahnkurve inB(b)f¨ur die drei F¨alleR2< R0,R2=R0 undR2> R0. (c) B(c) gegen¨uberB(0) um den konstanten Winkel ϕgegen den Uhrzeigersinn um die ez
Achse gedreht ist.
(d) B(d) gegen¨uber B(0) gleichf¨ormig mit konstanter Winkelgeschwindigkeit ω gegen den Uhrzeigersinn um dieezAchse rotiert. Dies ist kein Inertialsystem mehr!
4. Drehimpuls (25 Punkte)
Betrachten Sie ein Teilchen mit Masse m, welches sich in einem Potential V(r) = V(|r|) bewege.
(a) Zeigen Sie, dass der Drehimpuls L=r×p in einem solchen System eine Erhaltungs- gr¨osse ist und dass die Bewegung findet in einer Ebene stattfindet. W¨ahlen Sie diese im Folgenden als diexy-Ebene.
(b) Berechnen Sie den Drehimpuls nachdem Sie die Bewegung des Teilchens in Zylinderko- ordinatener,eϕ,ez ausgedr¨uckt haben.
(c) Zeigen Sie, dass das Teilchen auf Grund der Drehimpulserhaltung ausschließlich eine Beschleunigung entlang der Richtungererf¨ahrt.
