Der Amateurastronom bedient sich der nicht- relativistischen Physik, um die Geschwindigkeit des Systems festzulegen, z = u/c, und stellt fest, dass sich das Objekt mit doppelter Lichtgeschwindigkeit von uns entfernt

Ubung Grundlagen Mechanik¨ (WiSe 13/14) Prof. Dr. J. Tjus

Ubungsgruppen:¨

Gruppe I: (Matthias Mandelartz, Marcio Keßler): Di, 8-10h, NB 7/173 Gruppe II: (Sebastian Sch¨oneberg, Lukas Merten): Do, 14-16h, NC 5/99

Ubungsblatt VII¨ [Ausgabe: 21.01.2014; Abgabe: 02.02.2012]

Ubungszettel im Netz unter¨ http://www.pat.rub.de/

Aufgabe 20: Rotverschiebungen

Ein Amateurastronom beobachtet eine Spektrallinie bei einer Rotverschiebungz = (λ−λ₀)/λ₀ = 2, wobei λ₀ die Wellenl¨ange im nicht-bewegten Labor ist und λ die Wellenl¨ange, die der Ama- teurastronom im bewegten System wahrnimmt. Der Amateurastronom bedient sich der nicht- relativistischen Physik, um die Geschwindigkeit des Systems festzulegen, z = u/c, und stellt fest, dass sich das Objekt mit doppelter Lichtgeschwindigkeit von uns entfernt. Kl¨aren Sie diesen Irrtum auf,:

(a) Leiten Sie die relativistische Beziehung zwischen Wellenl¨angenverh¨altnis und Geschwin- digkeiten her:

λ

λ₀ = 1 + ^u_c q

1− ^u_c²2

(1)

(b) Zeigen Sie, dasss sich f¨ur den nicht-relativistischenFall (u/c1) die von dem Amateu- rastronom angegebene Gleichung z =u/c ergibt.

(c) Berechnen Sie f¨ur den relativistischen Fall die tats¨achliche Relativgeschwindigkeit u f¨ur das Objekt.

Hinweis: Betrachten Sie das Ruhesystem der Emissionsquelle und das Ruhesystem des Astro- nomen und beachten Sie, dass im System der Quelle gilt: ν⁰ = _t0¹

2−t⁰₁ = _λ^c0. Ber¨ucksichtigen Sie die Laufzeit, die die Signale bis zur Ankunft beim Astronomen ben¨otigen.

Aufgabe 21: Geschwindigkeitsaddition

Ein Zug bewege sich mit relativistischer Geschwindigkeit ~v = v ·~e_z von einem am Bahnsteig stehenden Beobachter weg. Da es anf¨angt zu d¨ammern, schaltet der relativistische Zug seine Scheinwerfer an, welche im Zugsystem Σ⁰ eine Geschwindigkeit ~u⁰ besitzt.

Im Folgenden soll f¨ur verschiedene F¨alle die im Bahnsteigsystem Σ beobachtete Geschwindigkeit

~

u des Scheinwerferlichts bestimmt werden:

(a) F¨ur das Scheinwerferlicht gilt i.A. im Zugsystem Σ⁰: u~⁰² =c². Berechnen Sie~u².

(b) Im Zugsystem Σ⁰ geben nun die Scheinwerfer ihr Licht entlang der y-Achse (also senkrecht zur Fahrtrichtung) ab: u~^0t= (0, c, 0). Bestimmen Sie die Geschwindigkeit des Scheinwer- ferlichts ~u im Bahnsteigsystem Σ. Wie groß ist der Betrag von~u?

Aufgabe 22: Relativistische Rakete

In der Vorlesung wurde besprochen, dass Licht (=Photonen) durch seine Teilcheneigenschaften auch einen Impuls besitzt, der sich aus der Energie ergibt: Eγ = |~p| ·c. Durch den R¨uckstoß der Photonen kann theoretisch eine Rakete angetrieben werden. Dieses Szenarium soll in dieser Aufgabe durchgegangen werden:

Eine Rakete mit einem idealen Photonenantrieb fliegt mit einer konstanten Beschleunigung a= 10 m/s², gemessen im Ruhesystem der Rakete. Das Startgewicht der Rakete seim₀. Im Lauf der Zeit nimmt die Raketenmasse ab, die Masse wird in die Energie der Photonen umgewandelt und zum Raketenantrieb verwendet. Nach welcher Zeit, gemessen im mitbewegten System der Rakete, betr¨agt die Masse nur noch 1/100 der urspr¨unglichen Startmasse?

Hinweis (1): Verwenden Sie Energie- und Impulserhaltung (d/dt(E) = 0 und d/dt(~p) = 0) und beachten Sie hierbei, dass die Masse der Rakete nicht konstant ist!

Hinweis (2): Energie- und Impuls h¨angen, wie in der Vorlesung diskutiert, wie folgt zusammen:

E²−~p²c² =m²c⁴. (2)

Insbesondere gilt f¨ur Photonen E_γ =|~p| ·c.

Bonusaufgabe 23: Verst¨andnisfragen(8 Bonuspunkte, Punkte ab 4 korrekten Antworten) Beantworten Sie die folgenden Fragen mit ‘Ja’ oder ‘Nein’:

Ja Nein (1) Die Newtonschen Axiome gelten im klassischen Grenzfall (v c) in allen

Inertialsystemen.

(2) F¨ur den freien Fall mit Stokesscher Reibung existiert eine endliche Grenzge- schwindigkeit des fallenden Objekts f¨ur t→ ∞.

(3) Ein Zentralkraftfeld ist nie konservativ.

(4) Bei der freien, harmonischen Schwingung ist eine Resonanzkatastrophe m¨oglich.

(5) Alle K¨orper, die ausschließlich einem zentralen Gravitationsfeld ausgesetzt sind, beschreiben Kegelschnittbahnen.

(6) Das effektive Potential im Zentralkraftfeld ist im Allgemeinen abh¨angig von der Geschwindigkeit des betrachteten K¨orpers.

(7) Wenn der Betrag der Geschwindigkeit eines K¨orpers gegen die Lichtgeschwin- digkeit geht, so geht der Lorentzfaktor gegen Null, γ →0.