Ort u Geschwindigkeit v

Differentialgleichungen f¨ ur Ingenieure WS 06/07

4. Vorlesung Michael Karow

Themen heute:

1. Gew¨ohnliche Lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung (a) Das ged¨ampfte Pendel als Beispiel

(b) Fundamentalsysteme (L¨osungsbasen) (c) Variation der Konstanten

Verallgemeinerung der in der letzten VL gefundenen Resultate f¨ur die skalare lineare DGL y(t) =˙ a(t)y(t) + b(t)

auf den vektoriellen Fall

˙

y(t) = A(t)y(t) + b(t).

Die Hauptschwierigkeit dabei ist, das homogene Problem

˙

y_{(t) =} A_(t)y_(t)

allgemein zu l¨osen. Man braucht dazu ein

Fundamentalsystem (synonym: eine L¨osungsbasis)

(Definition sp¨ater). Das inhomogene Problem l¨ost man dann, wie im skalaren Fall, durch Variation der Konstanten.

Zun¨achst ein Beispiel

Auf den folgenden Seiten wird anhand eines einfachen Beispiels, des ged¨ampften Pendels, versucht eine anschauliche Vorstellung der Problems und der gesuchten L¨osungen zu geben. Ein mittelfristges Ziel der VL ist es, die dort gemachten Behauptungen

¨

uber die Pendelbewegung mathematisch zu beweisen und zu verstehen.

A u 0

m

s d

A

Notation: m=Masse

s=Federsteifigkeit

d=D¨ampfungskonstante A=Anfangsauslenkung

u=Auslenkung der Masse aus der Ruhelage Bewegungsgleichung: m¨u = −s u − du˙

Einf¨uhren der Geschwindigkeit v = ˙u als neue Variable ergibt das homogene System 1. Ordnung

u˙ v˙

=

0 1

−s/m −d/m u v

.

Auslenkung u(t) des Pendels, wenn u(0) = A, v(0) = 0:

keine D¨ampfung schwache D¨ampfung aperiod. Grenzfall starke D¨ampfung

(d = 0) (0 < d < 2√

ms) (d = 2√

ms) (d > 2√ ms)

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Darstellung der Pendelbewegung in der Phasenebene

In der Phasenebene stellt man Ort und Geschwindigkeit zur Zeit t als Punkt (oder Ortsvektor) y(t) =

u(t) v(t)

dar.

W¨ahrend der Bewegung durchl¨auft der Punkt y(t) eine Kurve (Trajektorie).

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t= 0

Zeit t

Ort u

Ort−Zeit−Diagramm

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t= 0

Zeit t

Geschwindigkeit v

Geschwindigkeit−Zeit−Diagramm

u

—>

y(t) =

u(t)

v(t)

—————->

v

—> ^{−1.5−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5}

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t= 0

u v

Phasenebene

In der Phasenebene stellt man Ort und Geschwindigkeit zur Zeit t als Punkt (oder Ortsvektor) y(t) =

u(t) v(t)

dar.

W¨ahrend der Bewegung durchl¨auft der Punkt y(t) eine Kurve (Trajektorie).

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t= 0.3

Zeit t

Ort u

Ort−Zeit−Diagramm

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t= 0.3

Zeit t

Geschwindigkeit v

Geschwindigkeit−Zeit−Diagramm

u

—>

y(t) =

u(t)

v(t)

—————->

v

—> ^{−1.5−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5}

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t= 0.3

u v

Phasenebene

Darstellung der Pendelbewegung in der Phasenebene

In der Phasenebene stellt man Ort und Geschwindigkeit zur Zeit t als Punkt (oder Ortsvektor) y(t) =

u(t) v(t)

dar.

W¨ahrend der Bewegung durchl¨auft der Punkt y(t) eine Kurve (Trajektorie).

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t= 1.5

Zeit t

Ort u

Ort−Zeit−Diagramm

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t= 1.5

Zeit t

Geschwindigkeit v

Geschwindigkeit−Zeit−Diagramm

u

—>

y(t) =

u(t)

v(t)

—————->

v

—> ^{−1.5−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5}

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t= 1.5

u v

Phasenebene

In der Phasenebene stellt man Ort und Geschwindigkeit zur Zeit t als Punkt (oder Ortsvektor) y(t) =

u(t) v(t)

dar.

W¨ahrend der Bewegung durchl¨auft der Punkt y(t) eine Kurve (Trajektorie).

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t= 4

Zeit t

Ort u

Ort−Zeit−Diagramm

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t= 4

Zeit t

Geschwindigkeit v

Geschwindigkeit−Zeit−Diagramm

u

—>

y(t) =

u(t)

v(t)

—————->

v

—> ^{−1.5−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5}

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t= 4

u v

Phasenebene

Darstellung der Pendelbewegung in der Phasenebene

In der Phasenebene stellt man Ort und Geschwindigkeit zur Zeit t als Punkt (oder Ortsvektor) y(t) =

u(t) v(t)

dar.

W¨ahrend der Bewegung durchl¨auft der Punkt y(t) eine Kurve (Trajektorie).

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t= 7

Zeit t

Ort u

Ort−Zeit−Diagramm

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t= 7

Zeit t

Geschwindigkeit v

Geschwindigkeit−Zeit−Diagramm

u

—>

y(t) =

u(t)

v(t)

—————->

v

—> ^{−1.5−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5}

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t= 7

u v

Phasenebene

In der Phasenebene stellt man Ort und Geschwindigkeit zur Zeit t als Punkt (oder Ortsvektor) y(t) =

u(t) v(t)

dar.

W¨ahrend der Bewegung durchl¨auft der Punkt y(t) eine Kurve (Trajektorie).

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t= 30

Zeit t

Ort u

Ort−Zeit−Diagramm

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t= 30

Zeit t

Geschwindigkeit v

Geschwindigkeit−Zeit−Diagramm

u

—>

y(t) =

u(t)

v(t)

—————->

v

—> ^{−1.5−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5}

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

t= 30

u v

Phasenebene

Orts- Geschwindigkeits- und Phasendiagramme des ged¨ampften Federpendels

keine D¨ampfung schwache D¨ampfung aperiod. Grenzfall starke D¨ampfung

(d = 0) (0 < d < 2√ms) (d = 2√ms) (d > 2√ms)

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Zeit t

Ort u

Ort−Zeit−Diagramm

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Zeit t

Ort u

Ort−Zeit−Diagramm

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Zeit t

Ort u

Ort−Zeit−Diagramm

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Zeit t

Ort u

Ort−Zeit−Diagramm

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Zeit t

Geschwindigkeit v

Geschwindigkeit−Zeit−Diagramm

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Zeit t

Geschwindigkeit v

Geschwindigkeit−Zeit−Diagramm

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Zeit t

Geschwindigkeit v

Geschwindigkeit−Zeit−Diagramm

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Zeit t

Geschwindigkeit v

Geschwindigkeit−Zeit−Diagramm

↓ ↓ ↓ ↓

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

u v

Phasenebene

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

u v

Phasenebene

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

u v

Phasenebene

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

u v

Phasenebene

Beispiel: schwache D¨ampfung (Schraubenlinie)

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Zeit t

Ort u

Ort−Zeit−Diagramm

0 5 10 15 20 25 30

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

Zeit t

Geschwindigkeit v

Geschwindigkeit−Zeit−Diagramm

↓

−1.5 −1 −0.5 0 0.5 1 1.5

−1.5

−1

−0.5 0 0.5 1 1.5

u v

Phasenebene

↑

Graph der Trajektorie y(t) =

u(t) v(t)

← Im Phasenport¨at fehlt die Information

¨

uber den zeitlichen Verlauf.

Der Graph gibt die volle Information.

Auf den folgenden Seiten diskutieren wir die Struktur der L¨ osungsmenge der vektorwertigen linearen DGL

˙

y _{(t) =} A _(t) y _{(t) +} b _(t).

Dabei wird von vornherein zugelassen, dass die Vektoren und Matrizen komplexe Zahlen als Eintr¨ age haben.

Grund: Die Theorie wird dadurch einfacher.

(wie wir in der folgenden VL sehen werden)

Satz:

Seien A (t) ∈ C

, b (t) ∈ C

stetige Funktionen von t in einem

Intervall J ⊆ R . Sei ausserdem t

∈ J und v _∈ C

. Dann hat das AWP

˙

y ( t ) = A ( t ) y ( t ) + b ( t ) , y ( t

) = v genau eine L¨ osung. Sie existiert f¨ ur alle t ∈ J .

0

1 01 01 01 01

0 1 0

1

0 1 000000

000000 000000 000000 000000

111111 111111 111111 111111

111111v y= (t )₀ (t )

y y(t)

Cⁿ

y(t )₁

2

t t0

Bemerkung: Dieser Satz folgt aus dem Satz von Picard-Lindel¨of und einer

Absch¨atzung (Gronwall-Lemma) die insbesondere besagt, dass die L¨osung nicht in endlicher Zeit unendlich groß werdem kann.

Das Superpositionsprinzip (¨ Uberlagerungsprinzip)

Das Superpositionsprinzip f¨ur lineare DGL ˙y(t) = A(t)y(t) + b(t) lautet:

Sei y₁(·) die L¨osung des AWP

˙

y₁(t) = A(t)y₁(t) + b₁(t), y₁(t0) = v_1, und sei y₂(·) die L¨osung der AWP

˙

y2(t) = A(t)y2(t) + b2(t), y2(t0) = v2. Dann ist die Linearkombination (Superposition)

y(t) := c1 y₁(t) +c2y₂(t) c1, c2 ∈ C die eindeutige L¨osung des AWP

˙

y(t) = A(t)y(t) + c1b1(t) + c2 b2(t), y(t0) = c1v2 + c2 v2.

Dies gilt sinngem¨ass auch f¨ur beliebige Linearkombinationen y(t) = P_m

k=1c_ky_k(t). Beweis durch Nachrechnen (siehe n¨achste Seite).

Ausgangsgleichungen:

˙

y

(t) = A (t) y

(t) + b

(t)

˙

y

(t) = A (t) y

(t) + b

(t) Erste Gleichung mit c

multipliziert:

c

y ˙

(t) = A (t) c

y

(t) + c

b

(t) Zweite Gleichung mit c

multipliziert:

c

y ˙

(t) = A (t) c

y

(t) + c

b

(t) Addition ergibt:

c

y ˙

(t) + c

y ˙

(t)

| {z }

˙ y(t)

= A (t) ( c

y

(t) + c

y

(t)

| {z }

y(t)

) + c

b

(t) + c

b

(t)

Das Superpositionsprinzip f¨ur homogene DGL

Angenommen die Funktionen y₁(·), y₂(·) sind L¨osungen der homogenen DGL

˙

y(t) = A(t)y(t) mit Anfangswerten

y_1(t0) = v_1, y₂(t0) = v_2. Dann ist die Linearkombination (Superposition)

y(t) = c1 y1(t) + c2y2(t), c1, c2 ∈ C

ebenfalls eine L¨osung der homogenen DGL, und zwar zum Anfangswert y(t0) = c1v1 + c2v2 =: v

v

v v

t−Achse 2

1

t=t0 t=t1

y= y₁+^c₂y₂

y₂

c1

y₁

y

Dies gilt sinngem¨ass auch

f¨ur mehrere L¨osungen y₁,y₂, . . . ,y_p

Eine Menge M von mathematischen Objekten nennt man einen linearen Raum (synonym: Vektorraum) wenn folgendes gilt.

(1) Man kann die Objekte aus M addieren und mit Skalaren (d.h. Zah- len) multiplizieren (wobei bestimmte Rechenregeln gelten. Siehe VL

’Lineare Algebra’).

(2) Wenn man die unter (1) genannten Rechenoperationen mit Objekten aus M durchf¨ uhrt, kommt als Rechenergebnis stets wieder ein Objekt aus M heraus.

Formal: u

_, u

_{∈ M ⇒} u

+ u

_{∈ M} und u _{∈ M, c ∈} K _{⇒ c} u _{∈ M} Dabei ist K = Menge der Skalare, z.B. K ₌ R _oder K ₌ C _.

In dieser Definition kann man die Bedingung (2) durch die folgende gleich- wertige Bedingung (2’) ersetzen.

(2’) Eine beliebige Linearkombination von Objekten aus M ergibt wieder ein Objekt aus M .

Formal: u

, u

, . . . u

_∈ M, c

, c

, . . . , c

∈ K _{⇒ c}

u

+ . . . + c

u

_∈ M

Wir haben bereits gesehen, dass eine Linearkombination von L¨ osungen der homogenen DGL ˙ y (t) = A (t) y (t) wieder eine L¨ osung dieser DGL ist.

Diese Tatsache kann man formal auch so hinschreiben: Sei L _{:= {} y : J → C

_| y _˙ (t) = A (t) y (t) f¨ ur alle t ∈ J } die L¨ osungsmenge der homogenen DGL. Dann gilt

y

, . . . , y

_∈ L _{, c}

, . . . , c

∈ C _{⇒ c}

y

+ . . . + c

y

_∈ L _.

Mit der Terminologie von der vorigen Seite kann man also sagen:

L¨ osungsmenge der homogenen DGL ˙ y (t) = A (t) y (t) ist ein linearer Raum.

Auf den folgenden Seiten geht es darum, noch etwas mehr ¨uber den Raum L _heraus- zufinden. Insbesondere geht es um die L¨osung von Anfangswertproblemen. Zu diesem Zweck braucht man weitere Begriffe und Techniken aus der linearen Algebra.

n Vektoren v1,v2, . . . ,v_n bilden eine Basis des Rⁿ _oder Cⁿ, falls sich jeder Vektor v _∈ Rⁿ (bzw. Cⁿ) in eindeutiger Weise als Linearkombination

v = c1 v₁ + c2 v₂ + . . .+ cnv_n

darstellen l¨asst. Die Zahlen c1, c2, . . . , cn ∈ R _(oder C) nennt man die Koordinaten von v bez¨uglich der Basis v1,v2, . . . ,v_n.

Beispiel: Zwei Vektoren v₁,v_{2 ∈} R² bilden eine Basis genau dann, wenn sie nicht auf einer Geraden liegen.

Basis: keine Basis:

+

= ₁

2 2

1 1

0

c v

c c

c v

v₁ v₂

v v_{1 2}v₂

0 v

v 1

2

v v ist nicht als

Linearkombination von v₁ und v₂ darstellbar

Zur Berechnung von Koordinaten Eine Linearkombination

v = c1 v₁ + c2 v₂ + . . .+ c_nv_n kann man auch als Matrix-Vektor-Produkt schreiben. Sei

V = [ v₁, v₂ . . . , v_n] ∈ C^n×n_, c =



 c1

...

c_n



.

V ist die Matrix deren Spalten die Vektoren v_k sind.

Dann gilt:

v = c1 v1 + c2 v2 + . . .+ c_nv_n = [ v1, v2 . . . , v_n]



 c1

...

cn



 = V c.

Um die Koordinaten c zu bestimmen, muss man also das lineare Gleichungssystem V c = v

l¨osen. Man kann die L¨osung formal in der Form c = V⁻¹ v

schreiben. Voraussetzung f¨ur die eindeutige L¨osbarkeit ist, dass die v_k tats¨achlich eine Basis bilden. Dann gilt n¨amlich, dass

det(V) 6= 0, V⁻¹ existiert.

Seien v1,v2, . . . ,v_n eine Basis des Cⁿ_.

Angenommen man kennt die L¨osungen y₁(·),y₂(·), . . . ,y_n(·) der AWPs

˙

y_k(t) = A(t)y_k(t), y_k(t0) = v_k. Dann kann man die L¨osung des AWP

˙

y(t) = A(t)y(t), y(t0) = v, (∗) f¨ur einen beliebigen Anfangswert v wie folgt erhalten:

1. Bestimmme die Koordinaten c1, c2, . . . , cn von v bez¨uglich der Basis v1,v2, . . . ,v_n, d.h. l¨ose das lineare Gleichungssystem Vc = v.

Dann ist also

v = c1 v1 + c2v2 + . . . + cnv_n. 2. Setze

y(t) = c1y₁(t) + c2y₂(t) + . . .+ c_ny_n(t), (∗∗) Superpositionsprinzip ⇒ y(·) l¨ost (∗).

Eindeutigkeitssatz ⇒ Alle L¨osungen der homogenen DGL ˙y(t) = A(t)y(t) sind von der Form (∗∗). Es gibt keine weiteren.

Aus diesem Grunde nennt man die Basisl¨osungen y₁(·),y₂(·), . . . ,y_n(·) ein Fundamentalsystem (oder Hauptsystem) von L¨osungen.

Die Fundamentalmatrix

Die L¨osungen y(t) der homogenen DGL y(t) = A(t)y(t) lassen sich auch in folgender Form schreiben

y(t) = c1 y₁(t) +c2y₂(t) + . . .+ c_ny_n(t)

= [ y₁(t), y₂(t) . . . , y_n(t) ]



 c1

...

c_n





= Y(t)c. Dabei ist

Y(t) = [ y₁(t), y₂(t) . . . , y_n(t) ]

die Matrix, deren Spalten die Basisl¨osungen y_k(t) sind. Die Matrix Y(t) heisst Fundamentalmatrix, auch Wronski-Matrix. Ihre Determinante

w(t) = det(Y(t))

heisst Wronski-Determinante. F¨ur ein Fundamentalsystem gilt

w(t) 6= 0 und Y(t)⁻¹existiert f¨ur alle Zeiten t,

denn die Vektoren eines Fundamentalsystems y1(·),y2(·), . . . ,y_n(·) bilden zu allen Zeiten t eine Basis des Cⁿ, nicht nur zur Anfangszeit t0.

Insbesondere ist folgende Situation unm¨oglich:

t−Achse y₁

y₂

t=t₁ t=t₀

(siehe Bemerkung auf der n¨achsten Seite)

Seien y_1,y_{2, . . . ,}y_p L¨osungen von y˙ = A(t)y. Angenommen, es gilt

c1y1(t_∗) + c2y2(t_∗) + . . . + cny_p(t_∗) = 0 f¨ur ein t_∗ ∈ J (∗) Dann ist die Funktion

y(t) = c1 y1(t) +c2y2(t) + . . .+ cny_p(t) die eindeutige L¨osung des AWP

˙

y = A(t)y und y(t_∗) = 0.

Die einzige L¨osung dieses AWP ist aber die Nullfunktion. Folglich ist y(t) ≡ 0.

Anders ausgedr¨uckt: Man hat

c1y_{1(t) + c2} y_{2(t) + . . .}+ cny_{p(t) =} 0 f¨ur alle t ∈ J. (∗∗) Es gilt also (∗) ⇒ (∗∗).

Folgerungen:

• Wenn die Vektoren y₁(t),y₂(t), . . . ,y_p(t) f¨ur einen Zeitpunkt t = t_∗ linear abh¨angig sind, dann sind sie f¨ur alle Zeiten t ∈ J linear abh¨angig.

• Umkehrschluss: Wenn die Vektoren y1(t),y2(t), . . . ,y_p(t) zu einem Zeitpunkt t = t0 ∈ J linear unabh¨anging sind, dann sind sich auch zu jedem anderen

Zeitpunkt t = t_∗ ∈ J linear unabh¨angig.

Beispiel aus P.Furlan: Das Gelbe Rechenbuch

Gegeben sei die homogene DGL

˙

y(t) =

−2/t 1/t 3/t 0

y(t).

Man rechnet leicht nach, dass die Funktionen y₁(t) =

1/t³

−1/t³

, y₂(t) = t

3t

L¨osungen sind. Man best¨atigt auch leicht, dass y₁(t) und y₂(t) z.B. f¨ur t = 1 linear unabh¨angig sind. Also sind sie f¨ur alle t linear unabh¨angig und bilden eine L¨osungsbasis (Fundamentalsystem). Die zugeh¨orige Fundamentalmatrix (Wronsky-Matrix) ist

Y(t) = [y₁(t) y₂(t)] =

1/t³ t

−1/t³ 3t

. Die allgemeine L¨osung der DGL ist

y(t) = c1y1(t) + c2y2(t) = Y(t) c1

c2

=

1/t³ t

−1/t³ 3t

c1

c2

mit beliebigen Konstanten c1, c2 ∈ C. Will man z.B. die L¨osung des AWP

˙

y(t) =

−2/t 1/t 3/t 0

y(t), y(2) = 3

−2 berechnen, dann muss man das lineare Gleichungssystem

1/8 2

−1/8 6

| {z }

Y(2)

c1

c2

= 3

−2

l¨osen und so die Koeffizienten c1, c2 bestimmen.

1. Im Fall konstanter Koeffizienten, d.h. A(t) = const = A findet man ein Fundamentalsystem indem man Eigenwerte und Eigenvektoren von A bestimmt. Mehr dazu in der n¨achsten VL.

2. Wenn A(t) tats¨achlich zeitabh¨angig ist, dann l¨asst sich in den meisten F¨allen kein Fundamentalsystem in geschlossener Form angeben. Manchmal kann man eines durch kluges Raten oder einen geschickten Ansatz finden. Wenn das

nicht gelingt, dann muss man sich mit einer numerischen N¨aherung zufrieden geben.

Die Fundamentalmatrix l¨ost die homogene DGL

F¨ur eine Fundamentalmatrix Y(t) der homogenen DGL ˙y(t) = A(t)y(t) gilt Y˙ _(t) = [ ˙y_1(t), y˙_{2(t) . . . ,} y˙_{n(t) ]}

= [ A(t)y1(t), A(t)y2(t) . . . , A(t)y_n(t) ]

= A(t) [ y1(t), y2(t) . . . , y_n(t) ]

= A(t) Y(t).

Diese Tatsache braucht man zur Herleitung der ’Variation der Konstanten’Formel f¨ur die inhomogene DGL (siehe die folgenden Seiten).

der inhomogenen linearen DGL

˙

y ( t ) = A ( t ) y ( t ) + b ( t ) .

Wichtige Folgerung aus dem Superpositionsprinzip Sei y

( · ) eine (partikul¨ are) L¨ osung der inhomogenen DGL

˙

y (t) = A (t) y (t) + b (t)

Dann sind alle weiteren L¨ osungen dieser DGL von der Form y (t) = y

(t) + y

(t), ( ∗ )

wobei y

(t) eine beliebige L¨ osung der homogenen DGL

˙

y (t) = A (t) y (t) ist. Merkregel:

allgemeine L¨osung partikul¨are L¨osung allgemeine L¨osung

= +

der inhomogenen DGL der inhomogenen DGL der homogenen DGL.

Beweis: Dass (∗) die inhomogene DGL l¨ost, rechnet man nach. Sei umgekehrt y(t) eine beliebige L¨osung der inhomogenen DGL. Dann ist

˙

y(t) − y˙_p(t)

| {z }

˙ yh(t)

= (A(t)y(t) + b(t)) − (A(t)y_p(t) +b(t))

= A(t) (y(t) − y_p(t)

| {z }

yh(t)

)

⇒Die Differenz zweier L¨osungen der inhomog. DGL ist eine L¨osung der homogenen DGL.

Variation der Konstanten

Wir haben gesehen, dass die homogenen DGL ˙y(t) = A(t)y(t) die allgemeine L¨osung y(t) = c1y1(t) + . . .+ cny_n(t) = Y(t)c

hat, wobei Y(t) die Fundamentalmatrix und c ein beliebiger aber fester Vektor ist.

Zur L¨osung der inhomogenen DGL macht man den Ansatz

y_(t) = c1(t)y_{1(t) + . . .} + cn(t)y_{n(t) =} Y_(t)c_(t) (Variation der Konstanten). Aus dem Ansatz folgt:

˙

y(t) = Y˙ (t)c(t) + Y(t) ˙c(t)

= A(t)Y(t)c(t) + Y(t) ˙c(t) A(t)y(t) +b(t) = A(t)Y(t)c(t) + b(t).

Gleichsetzen der linken und damit auch der rechten Seiten ergibt die Bedingung Y(t) ˙c(t) = b(t).

Multiplizieren mit Y(t)⁻¹ ergibt c˙(t) = Y(t)⁻¹b(t). Somit ist c(t) eine Stamm- funktion von Y(t)⁻¹b(t):

c(t) = c₀ + Z

Y(t)⁻¹b(t)dt

↑ ↑

beliebige Konstante fest gew¨ahlte Stammfunktion

Wir halten fest:

F¨ur die L¨osungen der linearen DGL y˙(t) = A(t)y(t) + b(t) gilt die folgende

’Variation der Konstanten’-Formel

beliebige Konstante fest gew¨ahlte Stammfunktion

↓ ↓

y ( t ) = Y ( t )

c ₀ +

Y ( t ) ^{− 1} b ( t ) dt

| {z }

c ( t )

↑

Fundamentalmatrix

Bemerkung:

Der Integrand Y(t)⁻¹b(t) =:





β1(t) ...

β_n(t)



 ist der Vektor, der die Koordinaten

von b(t) bzgl. der Basisl¨osungen y₁(t), . . . ,y_n(t) als Komponenten hat, d.h. es gilt b(t) = β1(t)y1(t) + . . . + β_n(t)yn(t).

Die Komponenten c1(t), . . . cn(t) des Vektors c(t) sind Stammfunktionen der Koor- dinaten β_k(t). Es ist

y(t) = Y(t)c(t) = c1(t)y1(t) +. . . + c_n(t)y_n(t).

W¨ ahlt man in der ’Variation der Konstanten’-Formel y (t) = Y (t) c (t) = Y (t)

c

+

Z

Y (t)

b (t) dt

f¨ ur die Integrationskonstante bzw. die Stammfunktion c

= Y (t

)

v ,

Z

Y (t)

b (t) dt =

Z _t

t₀

Y (τ )

b (τ ) dτ ,

so bekommt man die L¨ osung des AWP

˙

y ( t ) = A ( t ) y ( t ) + b ( t ) , y ( t

) = v _,

n¨ amlich

y ( t ) = Y ( t ) Y ( t

)

v +

Z _t

t₀

Y ( τ )

b ( τ ) dτ

!

.