Priv.-Doz. Dr. Ulrich G¨ortz WS 2007/08 ¨Ubungen zur Algebraischen Geometrie 2

Priv.-Doz. Dr. Ulrich G¨ortz WS 2007/08 Ubungen zur Algebraischen Geometrie 2¨

Blatt 12, Abgabe am 22.1.2008

Aufgabe 45

Seien X,Y noethersche Schemata, sei f:X → Y ein separierter Morphismus von endlichem Typ, und seiu:Y⁰ →Y ein Morphismus. SeiX⁰ =X×_Y Y⁰ und seienv:X⁰ →X,g:X⁰ →Y⁰ die Projektionen.

a) Man hat f¨ur alle i ≥ 0 und quasi-koh¨arenten OX-Moduln F nat¨urliche Morphismen

u^∗Rⁱf∗F →Rⁱg∗(v^∗F).

b) Istu flach, so sind die Morphismen in a) Isomorphismen.

Aufgabe 46

Seikein K¨orper undX=P¹_k.

a) SeiE ein lokalfreierOX-Modul von endlichem Rang r. Es gibt eind∈Zund einen nicht-trivialen HomomorphismusO(d)→E.

b) Istdin a) maximal, so ist der QuotientE/O(d) lokalfrei vom Rangr−1. (Ist A ein reduzierter lokaler Ring, M ein endlich erzeugter A-Modul, und r ≥0, so dass f¨ur alle Primidealep⊂Adas TensorproduktM⊗Ap/pAp Dimensionr

¨

uberA_p/pA_p hat, so istM frei.) c) Seiend < d⁰ ganze Zahlen und

0→O(d)→E →O(d⁰)→0

eine kurze exakte Sequenz von lokalfreienOX-Moduln. Zeige: es existiertd⁰⁰> d und ein nicht-trivialer HomomorphismusO(d⁰⁰)→E.

d) Sei E ein lokalfreier OX-Modul von endlichem Rang r. Zeige, dass ganze Zahlenn₁, . . . , n_r existieren, so dass

E ∼=

r

M

i=1

O(n_i)

gilt, und dass dien_i bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt sind.

Bemerkung. Vergleiche [1], [2].

Aufgabe 47

SeiA ein Ring,Y = SpecA,n≥1,S=A[X0, . . . , Xn], und X= ProjS=Pⁿ_A. Seien e₀, . . . , e_n+1 die Standard-Basisvektoren (jeweils vom Grad 1) des freien

S-ModulsS(−1)ⁿ⁺¹. Seiα:S(−1)ⁿ⁺¹→SderS-Modulhomomorphismuse_i 7→

Xi. Sei β:O(−1)^⊕n+1 →OX der vonα induzierte Morphismus.

Zeige: Ω_X/Y ∼= kerβ. Was bedeutet das im Falln= 1?

Aufgabe 48

Seienkein K¨orper, undX= Speck[X, Y]/(Y²−X²(X+ 1)). Zeige anhand ver- schiedener der in der Vorlesung besprochenen Kriterien, dass der Morphismus X→Specknicht glatt ist.

Literatur

[1] Alexandre Grothendieck, Sur la classification des fibr´es holomorphes sur la sph`ere de Riemann. Amer. J. Math. 79(1957), 121–138.

[2] Winfried Scharlau, Some remarks on Grothendieck’s paper Sur la classification des fibres holomorphes sur la sphere de Riemann,

http://wwwmath.uni-muenster.de/u/scharlau/scharlau/grothendieck/Grothendieck.pdf