Dr. Ulrich G¨ortz WS 2005/06 ¨Ubungen zur Algebraischen Geometrie

Dr. Ulrich G¨ ortz WS 2005/06 Ubungen zur Algebraischen Geometrie ¨

Blatt 5, Abgabe am 23.11.2005

Aufgabe 17

Sei X eine Pr¨ avariet¨ at und sei Y eine affine Variet¨ at. Zeige, dass die Abbildung Hom(X, Y ) −→ Hom

(Γ(Y, O

), Γ(X, O

)), f 7→ f

: ϕ 7→ ϕ ◦ f, eine Bijektion ist.

Aufgabe 18

a) Seien f

, . . . , f

∈ k[X

, . . . , X

] homogene Polynome vom selben Grad, so dass U := P

(k) \ V

(f

, . . . , f

) 6= ∅. Zeige, dass die Vorschrift

(x

: · · · : x

) 7→ (f

(x

, . . . , x

) : · · · : f

(x

, . . . , x

)) einen Morphismus U −→ P

(k) von Pr¨ avariet¨ aten induziert.

Insbesondere induziert ein injektiver Vektorraumhomomorphismus k

−→

k

einen Morphismus P

(k) −→ P

(k).

b) Aus Teil a) folgt, dass die Gruppe GL

(k) auf P

(k) durch Automor- phismen von Pr¨ avariet¨ aten operiert. Ist g ∈ GL

(k), so bezeichnen wir den zugeh¨ origen Automorphismus von P

(k) ebenfalls mit g. Sei H ⊂ P

(k) eine Hyperebene und sei p ∈ P

(k) \ H. Zeige, dass g ∈ GL

(k) existiert, so dass g(H) = V

(X

) und g(p) = (0 : · · · : 0 : 1).

Aufgabe 19

Wir identifizieren A

(k) mit der offenen Teilmenge

U

= {(x

: · · · : x

); x

6= 0} ⊆ P

(k).

Sei Y ⊆ A

(k) abgeschlossen und irreduzibel. Sei Y der Abschluss von Y in P

(k).

a) Zeige, dass Y = V

(β(f ), f ∈ I(Y )), wobei β(f ) = X

f (

0

, . . . ,

0

) f¨ ur f ∈ Γ( A

(k), O

).

b) Zeige am Beispiel der getwisteten Kubik V (Y −X

, Z −X

) ⊆ A

(k), dass f¨ ur

Erzeuger f

, . . . , f

von I(Y ) im allgemeinen nicht Y = V

(β(f

), . . . , β(f

))

gilt.

Aufgabe 20

Seien n, d > 0 ganze Zahlen. Seien M

, . . . , M

∈ k[X

, . . . , X

] alle Monome in X

, . . . , X

vom Grad d.

a) Der Ringhomomorphismus θ : k[Y

, . . . , Y

] −→ k[X

, . . . , X

] sei gegeben durch Y

7→ M

. Sei a = ker θ. Zeige, dass a ein Primideal ist, das von ho- mogenen Polynomen erzeugt wird. Zeige, dass a daher eine projektive Variet¨ at V

(a) ⊆ P

(k) definiert.

b) Betrachte den Morphismus (vgl. Aufgabe 18)

ρ

: P

(k) → P

(k), (x

: · · · : x

) 7→ (M

(x

, . . . , x

) : · · · : M

(x

, . . . , x

)),

und zeige, dass ρ

einen Isomorphismus P

(k) ∼ = V

(a) von Pr¨ avariet¨ aten in-

duziert. Die Abbildung ρ

heißt d-Tupel-Einbettung oder d-fache Veronese-

Einbettung. Ist V

(a) ein linearer Unterraum von P

(k)?