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Übungsblatt Aufgabe 8.1 Es seien (an)n∈N und (bn)n∈N beschränkte Folgen

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Universität Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Reinhard Racke

Dipl.-Math. Olaf Weinmann

11. Dezember 2006 ¢¢AA¢¢AA ¢¢AA

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Analysis I 8. Übungsblatt

Aufgabe 8.1 Es seien (an)n∈N und (bn)n∈N beschränkte Folgen. Beweisen Sie die folgenden Aussagen:

(i) Die Folge (an)n∈N ist genau dann konvergent, wenn lim inf

n→∞ an= lim sup

n→∞ an gilt.

(ii) Es gelte an≤bn für n∈N. Zeigen Sie:

lim inf

n→∞ an≤lim inf

n→∞ bn.

Aufgabe 8.2 Es sei (X, d) ein metrischer Raum und (xn)n∈N eine konvergente Folge mit x:=

limn→∞xn∈X. Beweisen Sie, dass die Menge X:={xn:n∈N} ∪ {x} kompakt ist.

Aufgabe 8.3 Es seif:R−→Reine stetige Abbildung. Ferner seiN(f) :={x:x∈R, f(x) = 0}. Zeigen Sie, dass N(f) abgeschlossen ist.

Aufgabe 8.4 Es sei f :N⊂R−→Reine Abbildung. Beweisen Sie, dassf stetig ist.

Abgabetermin: Montag 18. Dezember 2006, vor der Vorlesung in die Briefkästen bei F411.

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