Prof. Dr. M. Kaßmann Fakultät für Mathematik
Wintersemester 09/10 Universität Bielefeld
Präsenzaufgaben zur Analysis I Blatt IV vom 06.11.2009
Aufgabe IV.1 (Supremum, Infimum, Maximum und Minimum von Folgen/Mengen) Entscheiden Sie, ob Supremum, Infimum, Maximum und Minimum der unten angegebe- nen Folgen (an)n∈N,(bn)n∈N bzw. MengenM, N existieren. Geben Sie diese gegebenen- falls an und beweisen Sie ihre Behauptung.
a) an= 1−1n fürn∈N. b) bn=√
n+ 1−√
n fürn∈N.
c) M ={x∈R| ∃m, n∈N:x= 2−m+n−1}. d) N ={x∈R| |x3−25|<2}.
Aufgabe IV.2 (Summen, Produkte und Quotienten konvergenter Folgen) Seien(an)n∈N,(bn)n∈N konvergente Folgen in R.
a) Beweisen Sie, dass ebenfalls die Folgen (an+bn)n∈N und(an·bn)n∈N konvergente Folgen sind.
b) Unter welcher zusätzlichen Voraussetzung konvergiert auch abn
n
n∈N und wie be- weist man die Konvergenz ?
Wie berechnen sich die Grenzwerte dieser Folgen?
Aufgabe IV.3 (Produkte konvergenter und nicht konvergenter Folgen)
Geben Sie Beispiele reeller Zahlenfolgen(an)n∈N und(bn)n∈Nmitan→+∞1fürn→ ∞ undbn→0 für n→ ∞ an, so dass die folgenden Fälle eintreten:
a) (anbn)→+∞ für n→ ∞. b) (anbn)→ −∞für n→ ∞.
c) (anbn)→cfür n→ ∞, wobeiceine beliebig vorgegebene reelle Zahl ist.
d) Die Folge (anbn)n∈Nist beschränkt, aber nicht konvergent.
1 Man schreibtan→+∞fürn→ ∞, wenn zu jedemK∈ReinN∈Nexistiert mit
an≥K für jedesn≥N. Ein Beispiel hierzu ist die durchan=n,n∈N, gegebene Folge(an).
Die Schreibweisean→ −∞fürn→ ∞wird analog definiert.
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