Aufgabe 4.2 Gegeben seien Folgen (an)n∈N, (bn)n∈N und (cn)n∈N sowie n0 ∈ N

Universität Konstanz

Fachbereich Mathematik und Statistik Prof. Dr. Reinhard Racke

Dipl.-Math. Olaf Weinmann

13. November 2006 _¢¢AA¢¢AA ^¢¢AA

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Analysis I 4. Übungsblatt

Aufgabe 4.1 Untersuchen Sie die nachstehend denierten Folgen (a_n)_n∈N, (b_n)_n∈N, (c_n)_n∈N und (d_n)_n∈N auf Konvergenz.

(i) a_n:=√

n+ 1−√ n, (ii) b_n:=P_n

ν=1 1 ν(ν+1),

(iii) c_n:=qc_n−1 hierbei sindq ∈(−1,1)undc₀ := 1 +√

2 vorgegeben.

(iv) d_n:= ³ⁿ²(3+_n!¹)(3n⁴−4n³) 2(n²−2)(n⁴+√

n²+1).

Aufgabe 4.2 Gegeben seien Folgen (a_n)_n∈N, (b_n)_n∈N und (c_n)_n∈N sowie n₀ ∈ N. Für alle n≥n₀ geltea_n≤b_n≤c_n. Die Folgen(a_n)_n∈Nund(c_n)_n∈Nseien konvergent mit dem Grenzwert g:= lim_n→∞a_n= lim_n→∞c_n. Beweisen Sie, dass dann (b_n)_n∈N gegeng konvergiert.

Aufgabe 4.3 Es seiena_nundb_nfürn∈Nreelle Zahlen mita_n≤b_n. Die Folge von Intervallen I_n = [a_n, b_n] ⊂ R heiÿt Intervallschachtelung, wenn I_n+1 ⊂ I_n für alle n ∈ N gilt und wenn die Folge der Intervalllängen(b_n−a_n)_n∈Ngegen Null konvergiert. Zeigen Sie die Äquivalenz der folgenden Aussagen:

(i) Es gibt genau einx∈Rmit T_∞

n=1I_n={x}.

(ii) Jede nichtleere nach oben beschränkte Teilmenge reeller Zahlen besitzt ein Supremum.

Aufgabe 4.4 Es sei a∈Rbeliebig gewählt. Weiter sei a₁ ∈R mita₁ >√ aund a_n+1:= 1

2 µ

a_n+ a a_n

¶ . Beweisen Sie:

(i) Für allen∈Nist a_n>√ a. (ii) Es gilt lim_n→∞a_n=√

a.

Abgabetermin: Montag 20. November 2006, vor der Vorlesung in die Briefkästen bei F411.