Musterlösung Februar-Vollklausur Rechenteil WS 2005/06 Analysis II für Ingenieure

TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN

WS 2005/2006

Fakultät II - Mathematik 20.2.2006

Dozenten: Prof. Dr. G. Bärwol, Prof. Dr. F. Tröltzsch Assistent: K. Bauer

Musterlösung Februar-Vollklausur Rechenteil WS 2005/06 Analysis II für Ingenieure

1. Aufgabe

(9 Punkte)

f ist stetig,D kompakt, also wird das globale Maximum und Minimum angenommen.

Betrachte zunächst das Innere vonD:f⁰(x, y) = (x+ 1,2y−1)= (0,^! 0)⇒x=−1, y= ¹₂. Betrachte nun den Rand vonD.Benutze hierfür die Funktiong(x, y) =^x₂² +y²−3= 0.^! 1. Fall :g⁰(x, y) = (x,2y)= (0,^! 0)⇒x=y= 0. Dies widerspricht aber der Gleichungg(x, y) = 0.

2. Fall : f⁰(x, y) = λg⁰(x, y) ⇔ x(1−λ) = −1, 2y(1−λ) = 1. Es gilt also λ 6= 1 und damit: x =

−_1−λ¹ , y=_2(1−λ)¹ , alsoy=−^x₂ . Ing eingesetzt liefert dies:g(x, y) =g(x,−^x₂) =^x₂²+^x₄² −3 =

3x²

4 −3=⇒^! x²= 4⇒x=±2⇒y=∓1.

Wenn wir die drei Kandidaten in die Funktion einsetzen sehen wir:

f(−1,¹₂) =−³₄ (globales Minimum) ,f(2,−1) = 6(globales Maximum) ,f(−2,1) = 0.

2. Aufgabe

(9 Punkte)

B ist die Achtelkugel im ersten Oktanten.

Wir verwenden zur Berechnung des Integrals Kugelkoordinaten(x, y, z) = (rsin(θ) cos(φ), rsin(θ) sin(φ), rcos(θ)).

Es gilt: div(~v) =y²+x²+z² =r² ,dV =dxdydz=r²sin(θ)drdθdφ . Damit gilt mit dem Satz von Gauÿ:

RR

∂B

~

v·dO~ =RRR

B

div(~v)dV =

1

R

0

π 2

R

0

π 2

R

0

r²r²sin(θ)dθdφdr= ^π₂

1

R

0

r⁴dr

π 2

R

0

sin(θ) =^π₂(^r₅⁵|¹₀)(−cos(θ)

π 2

0) =₁₀^π.

3. Aufgabe

(8 Punkte)

Kist eine Kegeläche mit der Einheitskreisscheibe als Grundäche und (0,0,1)^T als Spitze.

Parametrisiere nun die FlächeK.F~ : [0,1]×[0,2π]→R³, (r, ϕ)7→





rcos(ϕ) rsin(ϕ) 1−r



.

Dann gilt: ^{∂ ~}_∂r^F =



 cos(ϕ) sin(ϕ)

−1



, ^{∂ ~}_∂ϕ^F =





−rsin(ϕ) rcos(ϕ)

0



⇒dO=|^{∂ ~}_∂r^F ×^{∂ ~}_∂ϕ^F|drdϕ=





rcos(ϕ) rsin(ϕ)

r





drdϕ

= q

r²cos²(ϕ) +r²sin²(ϕ) +r²drdϕ=√

2rdrdϕ.

Damit berechnet sich der Flächeninhalt der FlächeK:RR

K

dO=

1

R

0 2π

R

0

√2rdϕdr= 2√

2π^r₂²|¹₀=√ 2π.

4. Aufgabe

(7 Punkte)

f(0,0) = 1, f⁰(x, y) = (−sin(x)e^y,cos(x)e^y)⇒f⁰(0,0) = (0,1), Hf(x, y) =

−cos(x)e^y −sin(x)e^y

−sin(x)e^y cos(x)e^y

⇒Hf(0,0) =

−1 0

0 1

.

Das Taylorpolynom lautet also:f(0,0)+f⁰(0,0) ^x_y

+¹₂(x, y)Hf(0,0) ^x_y

= 1+(0,1) ^x_y

+¹₂(x, y)

−1 0

0 1

x y

= 1 +y+¹₂(−x²+y²).

5. Aufgabe

^{(7 Punkte)}

Verwende Polarkoordinaten:(x, y) = (rcos(ϕ), rsin(ϕ))⇒dxdy=rdrdϕ.Dann gilt RR

B

xydxdy=

2

R

0

π

R2

0

rcos(ϕ)rsin(ϕ)rdϕdr=

2

R

0

r³dr

π

R2

0

cos(ϕ) sin(ϕ)dϕ=

2

R

0

r³dr

π

R2

0 1

2sin(2ϕ)dϕ

= (¹₄r⁴|²_r=0)(−¹₄cos(2ϕ)|_ϕ=0^π2 ) = 2.

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