Analysis II f¨ ur Ingenieure L¨ osungen zur Oktober-Vollklausur

Analysis II f¨ ur Ingenieure L¨ osungen zur Oktober-Vollklausur

Sommersemeser 2003 – 13. Oktober 2003

Verst¨ andnisteil

Aufgabe 1

Menge offen beschr¨ ankt konvex

(x, y) ∈ R ²

0 < x ² + y ² < 10 + + ◦

(x, y, z) ∈ R ³

1 ≤ x ² + y ² + z ² ≤ 10 ◦ + ◦ (x, y) ∈ R ²

sin x · cos y 6= 0 + ◦ ◦ (x, y) ∈ R ²

− x ² − 1 ≤ y ≤ x ² + 1, |x| ≤ 1 ◦ + ◦

Aufgabe 2

grad f (x, y) =

− 1 2 x ⁻

³²

√

y , 1 2

√ 1 xy

, grad f (1, 1) =

− 1 2 , 1

2

Damit k¨ onnen die Gleichungen f¨ ur die gesuchte Richtung ~a aufgestellt werden:

I grad f (1, 1) · ~a = ^{√ 1}

2

II k~ak ² = 1

Das ist hier

I − ¹ ₂ a ₁ + ¹ ₂ a ₂ = ^{√ 1}

2 ⇒ a ₂ = √

2 + a ₁ II a ² ₁ + a ² ₂ = 1

a ₂ in II einsetzen liefert die quadratische Gleichung a ² ₁ + √

2 a ₁ + 1 2 = 0.

Die L¨ osung lautet a ₁ = −

√ 2

2 ± q

1

2 − ¹ ₂ = − ^{√ 1}

2 und damit ist a ₂ = ^{√ 1}

2 . Die gesuchte Richtung ist also

~a = 1

√ 2 −1

1

.

Aufgabe 3

rot (φ~ v) = rot



 φv 1

φv ₂ φv ₃



 =





(φv 3 ) y − (φv 2 ) z

(φv ₁ ) _z − (φv ₃ ) _x (φv ₂ ) _x − (φv ₁ ) _y



 =





φ y v 3 + φv 3y − φ z v 2 − φv 2z

φ _z v ₁ + φv _1z − φ _x v ₃ − φv _3x φ _x v ₂ + φv _2x − φ _y v ₁ − φv _1y





grad φ × ~ v + φ rot ~ v =



 φ _x φ _y φ z



 ×



 v ₁ v ₂ v 3



 + φ





v _3y − v _2z v _1z − v _3x v 2x − v 1y





=





φ _y v ₃ − φ _z v ₂ φ _z v ₁ − φ _x v ₃ φ x v 2 − φ y v 1



 + φ





v _3y − v _2z v _1z − v _3x v 2x − v 1y





=





φ _y v ₃ + φv _3y − φ _z v ₂ − φv _2z φ _z v ₁ + φv _1z − φ _x v ₃ − φv _3x φ x v 2 + φv 2x − φ y v 1 − φv 1y





Aufgabe 4

a) Man muss eine geschlossene Kurve w¨ ahlen, die die Problemstelle (z-Achse) enth¨ alt, z.B. Einheitkreis um den Ursprung in der xy−Ebene:

φ(t) = ~



 cos t sin t 0



 , t ∈ [0, 2π], φ ~ ⁰ (t) =





− sin t cos t

0





Jetzt integriert man ~ v entlang dieser geschlossenen Kurve:

Z

Kreis

~

v(x, y, z) dx dy dz = Z 2π

0





− sin t cos t

0



 ·





− sin t cos t

0



 dt = Z 2π

0

1 dt = 2π.

Damit kann ~ v kein Potentialfeld sein, da ansonsten ein Integral ¨ uber eine geschlos- sene Kurve Null ergeben muss.

b) Die Stammfunktion muss nur existieren, falls rot ~ v = 0 und D offen und konvex ist.

Hier: D ist der R ² ohne die z-Achse. Diese Menge ist zwar offen, aber nicht konvex.

Aufgabe 5

a) Kugelkoordinaten:

φ(t, θ) = 6378 ~





cos t cos θ sin t cos θ

sin θ



 , t ∈ [0, 2π], θ ∈ [− π 2 , 0].

b) Schnitt zwischen Kegel und Zylinder:

z ² = 4 ⇒ z _1,2 = ±2.

Da z ≤ −1 gilt, kommt als Schnitt nur z = −2 in Frage: z ∈ [−2, −1].

Eine vollst¨ andige Parametrisierung lautet:

φ(r, t, z) = ~





r cos t r sin t

z



 , t ∈ [0, 2π], z ∈ [−2, −1], r ∈ [−z, 2].