L¨ osungen zur Klausur vom 22.7.2002 (Rechenteil) Analysis I f¨ ur Ingenieure

TECHNISCHE UNIVERSIT ¨AT BERLIN SS 02 Fakult¨at II - Mathematik Stand: 6. August 2002 Lutz, G¨undel vom Hofe

K¨orner, Leschke

L¨ osungen zur Klausur vom 22.7.2002 (Rechenteil) Analysis I f¨ ur Ingenieure

1. Aufgabe (7 Punkte)

Welche z ∈ C erf¨ullen die folgende Ungleichung? Skizzieren Sie die L¨osungs- menge!

2iz+ 4 (1 +i)z

2

≤2 1. L¨osungsweg:

2iz+ 4 (1 +i)z

2 mitz=x+iy

=

2i(x+iy) + 4 (1 +i)(x+iy)

2

=

−2y+ 4 + 2ix (x−y) +i(x+y)

2

= (−2y+ 4)²+ (2x)²

(x−y)²+ (x+y)² = 4y²−16y+ 16 + 4x² 2x²+ 2y² ≤2

⇔ −16y+ 16≤0⇔y≥1.

Skizze:

1

2. L¨osungsweg:

2iz+ 4 (1 +i)z

2

= (2iz+ 4)(−2i¯z+ 4)

(1 +i)z(1−i)¯z = 4|z|²+ 8i(z−z) + 16¯ 2|z|²

= 4|z|²−16 Imz+ 16 2|z|² ≤2

⇔ −16 Imz+ 16≤0⇔Imz≥1.

1

2. Aufgabe (8 Punkte) i) Die ReiheP_∞

k=1(−1)^k_3k+4² konvergiert nach dem Leibnitzkriterium:

die Reihe ist alternierend, und _3k+4² ist eine monoton fallende

Nullfolge.

ii) Die ReiheP_∞

n=0 n³+1

3ⁿ konvergiert nach dem Quotientenkriterium :

klim→∞

a_k+1 a_k

= lim

k→∞

(n+ 1)³+ 1 3ⁿ⁺¹ · 3ⁿ

n³+ 1

= lim

k→∞

(n+ 1)³+ 1 n³+ 1 · 1

3

= 1 3

< 1.

3. Aufgabe (10 Punkte)

i)

Z 2 1

3(x²+ 1)

u⁰

lnx

v dx =

(x³+ 3x) lnx2 1−

Z 2 1

(x³+ 3x) 1 x dx

=

(x³+ 3x) lnx2 1−

Z 2 1

(x²+ 3)dx

= 14 ln 2− x³

3 + 3x 2

1

= 14 ln 2−16 3 ii) 1. L¨osung

Z 2 0

(3 +xsinx²)dx = Z 4

0

1 2( 3

√t+ sint)dt

Subtitutiont=x², dt= 2x dx, x=√ t , Grenzen: 0−4

=

3√ t−1

2cost 4

0

= 6 + 1 2− 1

2cos 4 = 13 2 −1

2cos 4

2

2. L¨osung Z 2

0

(3 +xsinx²)dx = Z 2

0

3dx+ Z 2

0

xsinx²dx

=

3x2 0+

Z 4 0

1

2sint dt

Subtitutiont=x², dt= 2x dx, Grenzen: 0−4

= 6− 1

2cost 4

0

= 6 + 1 2 −1

2cos 4 = 13 2 −1

2cos 4

4. Aufgabe (7 Punkte)

Die Differentialgleichung ist y⁰(x) =xtan(y(x)), y(1) = ^π₄. Bestimmen Sie das Taylorpolynom 2. Grades der L¨osungy(x) im Entwicklungspunkt x0 = 1.

Die zweite Ableitung vony erf¨ullt die Differentialgleichung:

y⁰⁰(x) = tan(y(x)) +x(1 + tan²(y(x)))y⁰(x), oder

y⁰⁰(x) = tan(y(x)) +x y⁰(x) cos²(y(x)), damit

y(1) = π

4, y⁰(1) = 1, y⁰⁰(1) = 1 + 2(1 + 1²)1 = 3, (falls tan^π₄ = 1 bzw cos^π₄ = ^√₂² fehlt, dann hier )

und

T_y,1² (x) = π

4 +x−1 +3(x−1)

2 .

(falls in der Formel der Entwicklungspunkt x0 = 1 fehlt, gibt es hier nur noch )

5. Aufgabe (8 Punkte)

Grenzwerte:

i) lim

n→∞

5n⁷+6n+3

3n⁷+17n²+1 = lim

n→∞

5+ ⁶

n6+ ³

n7

3+¹⁷

n5+ ¹

n7

= ⁵₃.

ii) Da lim_x→0 1−cos(^x₂) = lim_x→0 1−cosx = 0 und lim_x→0 1

2sin(^x₂) = limx→0 sinx= 0 erh¨alt man

xlim→0

1−cos(^x₂) 1−cosx =

L’H lim

x→0 1 2sin(^x₂)

sinx =

L’H lim

x→0 1 4cos(^x₂)

cosx = 1 4. (wird L’Hospital nicht erw¨ahnt: ; wird ”⁰₀” nicht erw¨ahnt: )

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