Juli-Vollklausur – Analysis II f¨ ur Ingenieure – L¨ osungen – Verst¨ andnisteil 1. Aufgabe (7 Punkte)
∂f
∂x (0, 0) = lim
x→0
f(x, 0) − f (0, 0) x − 0 = lim
x→0 x3 x2+02
− 0
x = lim
x→0
1 = 1.
An allen anderen Stellen gilt
∂f
∂x (x, y) = 3x
2(x
2+ y
2) − x
3· 2x
(x
2+ y
2)
2= x
2(x
2+ 3y
2) (x
2+ y
2)
2. F¨ ur die Folge (0,
n1) gilt
n
lim
→∞(0,
n1) = 0 lim
n→∞
∂f
∂x (0,
n1) = lim
n→∞
0 = 0 6= 1 = ∂f
∂x (0, 0).
Also ist
∂f∂xnicht stetig im Punkt (0, 0).
2. Aufgabe (10 Punkte)
Der K¨orper ist K = {(x, y, z) | x
2+ y
2≤ z ≤ 1} (f¨ ur die Erkenntnis).
Mit dem Satz von Gauß und Zylinderkoordinaten erh¨alt man f¨ ur das Flussintegral Z Z
∂K
x3 3 y3 3
0
· d ~ O
| {z }
= Z Z Z
K
div
x3 3 y3
3
0
dV = Z Z Z
K
x
2+ y
2dV
= Z
10
Z
2π0
Z
1ρ2
| {z } ρ
2|{z} · ρ dz dϕ dρ
| {z } = Z
10
Z
2π0
ρ
3(1 − ρ
2) dϕ dρ
= Z
10
2πρ
3(1 − ρ
2) dρ = 2π 1 4 − 1
6
= π 6 .
3. Aufgabe (6 Punkte)
Die Kurve, die rotiert werden soll, ist
0
t t
2
, und wegen der Rotation reicht es t ≥ 0 zu betrachten . Eine m¨ogliche Parametrisierung ist also
~ x(t, ϕ) =
t cos ϕ t sin ϕ
t
2
, 0 ≤ t, 0 ≤ ϕ ≤ 2π.
Alternativen:
~x(t, ϕ) =
tcosϕ tsinϕ
t2
, t∈R, 0≤ϕ≤π oder ~x(u, v) =
u v u2+v2
, u, v ∈R.
