TECHNISCHE UNIVERSITÄT BERLIN

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Fakultät II - Mathematik 10.10.2005

Dozenten: Prof. Dr. G. Bärwol, Prof. Dr. F. Tröltzsch Assistenten: K. Bauer, C. Schultz

Musterlösung Oktober-Vollklausur Verständnisteil SS 2005 Analysis I für Ingenieure

1. Aufgabe

• Es gilt: ^x2−5x+6_x−2 = ^{(x−2)(x−3)}_x−2 =x−3 und lim_x→2x−3 =−1. Damit ist die (sonst sowieso stetige) Funktionf auch im Punktx= 2stetig.

• Fürg gilt aber:lim_x&2^|x2−5x+6|_x−2 = lim_x&2^{|x−2||x−3|}_x−2 = lim_x&2^{(x−2)|x−3|}_x−2

= limx&2|x−3|= 1.

Die Funktion g ist wegen g(2) = −1 somit zwar fuer alle x6= 2 stetig, im Punktx = 2jedoch unstetig.

2. Aufgabe

Rb

af(x)dx^x=a+b−t= Ra

b f(b+a−t)(−dt) =−Ra

b f(b+a−t)dt=Rb

a f(b+a−t)dt=Rb

af(b+a−x)dx.

3. Aufgabe

Mittelwertsatz: Seif : [a, b]→Rdierenzierbar, dann gibt es einξ∈]a, b[mit ^f(b)−f(a)_b−a =f⁰(ξ). In unserem Fall istf(x) =x², a= 0, b= 2und aus ^f(b)−f(a)_b−a = ⁴₂ = 2 = 2ξ=f⁰(ξ)

ergibt sichξ= 1. (Skizze).

4. Aufgabe

a) lim_n→∞^1−2n+3n_5n3+4 ² = lim_n→∞ⁿ

3(¹

n3−²

n2+_n³) n³(5+⁴

n3) = lim_n→∞

1 n3−²

n2+_n³ 5+ ⁴

n3

= ⁰₅ = 0.

b) lim_n→∞

3n+1 2n−1

2x² stetig

=

lim_n→∞³ⁿ⁺¹_2n−12

=

lim_n→∞^n(3+1n)

n(2−¹_n)

2

=

lim_n→∞³⁺ⁿ¹

2−_n¹

2

= ³₂²

=⁹₄.

c) lim_n→∞ 1 + ⁵_n^8x8 stetig

= lim_n→∞1 + ⁵_n⁸

= 1⁸= 1.

d) lim_n→∞(2n⁽²ⁿ⁺¹⁾_2−n+1)⁶ ₃ = lim_n→∞n6^n6(2+n1)6

(2−_n¹n+¹

n2)³ = lim_n→∞ ^(2+n1)6

(2−_n¹n+¹

n2)³

x⁶,x³ stetig

= ²₂⁶₃

= 2³= 8.

5. Aufgabe

a) _x2−3x+2^x−3 =_{(x−1)(x−2)}^x−3 =_x−1^A +_x−2^B . b) _x3+x^x+12+x = _x(x2^x+1+x+1)= ^A_x +_x^Bx+C2+x+1.

oder: _x3+x^x+12+x =_x(x^x+1_2+x+1) = ^A_x + ^B

x+¹⁺

√ 3i 2

+ ^C

x+¹⁻

√ 3i 2

.

c) ^x4−5x_(x+1)^3−30x3(x²²−4)^−36x = ^x_(x+1)^4−5x₃³_(x+2)(x−2)^{−30x2−36x} = _x+1^A +_(x+1)^B ₂ +_(x+1)^C ₃+_x+2^D +_x−2^E .

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