u(t) exp( − at) auf [0, ∞ ) absolut integrierbar = ⇒

9.5 Laplace-Transformation

Laplace-Transformation

u(t) exp( − at) auf [0, ∞ ) absolut integrierbar = ⇒

U(s) = Z ∞

0

u(t) exp( − st) dt, Re s ≥ a

L : u 7→ U linear und injektiv

• L (u + v) = L u + L v, L (λu) = λ L u

• L u = 0 = ⇒ u = 0

Inverse Laplace-Transformation

u(t) exp( − at) auf [0, ∞ ) absolut integrierbar = ⇒

u(t) = 1 2πi

b+i Z ∞ b−i∞

U(s) exp(st) ds, b ≥ a

Laplace-Transformation von Exponentialfunktionen

u(t) = t ⁿ exp(at) −→ ^L U (s) = n!

(s − a) ⁿ⁺¹ , Re(s) > Re(a) a = λ + iω

exp(λt) cos(ωt) −→ ^L s − λ (s − λ) ² + ω ² , exp(λt) sin(ωt) −→ ^L ω

(s − λ) ² + ω ² Verschiebung und Skalierung bei Laplace-Transformation

u(t − a) −→ ^L exp( − as)U(s), exp(at)u(t) −→ ^L U (s − a) mit ϕ( · − a) der um a nach rechts verschobenen Funktion

Skalierung

u(at) −→ ^L a ^{− 1} U (s/a)

Laplace-Transformation periodischer Funktionen

u(t) = u(t + T ) (T -periodisch)

U(s) = R T

0 exp( − st)u(t) dt 1 − exp( − T s)

145

Differentiation und Laplace-Transformation

u ⁰ (t) −→ ^L sU (s) − u(0) , tu(t) −→ − ^L U ⁰ (s)

h¨ohere Ableitungen

u ⁽ⁿ⁾ (t) −→ ^L s ⁿ U (s) − s ^{n − 1} u(0) − s ^{n − 2} u ⁰ (0) − · · · − u ^{(n − 1)} (0) t ⁿ u(t) −→ ^L ( − 1) ⁿ U ⁽ⁿ⁾ (s)

Stammfunktion

v(t) = Z t

0

u(r) dr = ⇒ V (s) = U(s)/s

Faltung bei Laplace-Transformation

(v ? u)(t) = Z t

0

v(t − r)u(r) dr = ⇒ L (v ? u) = ( L u)( L v )

Laplace-Transformation linearer Differentialgleichungen erster Ordnung Anfangswertproblem

u ⁰ + pu = f(t), u(0) = a Laplace-Transformation

U (s) = 1

s + p (F (s) + a)

L¨osung durch Faltung mit der inversen Transformation ϕ(t) = exp( − pt) von (s + p) ⁻¹ , u = aϕ

|{z} u

+ ϕ ? f

| {z }

u

,

bzw. durch direkte R¨ucktransformation von U (s)

Laplace-Transformation linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung Anfangswertproblem

u ⁰⁰ + pu ⁰ + qu = f (t), u(0) = a, u ⁰ (0) = b Laplace-Transformation

U(s) = 1

s ² + ps + q (F (s) + as + ap + b) L¨osung durch Faltung,

u = aϕ ⁰ + (ap + b)ϕ

| {z }

u

+ ϕ ? f

| {z }

u

,

146

bzw. durch direkte R¨ucktransformation von U (s)

λ, %: Nullstellen des charakteristischen Polynoms s ² + ps + q = ⇒

ϕ(t) =

 

 

 

 

 

 

 



e ^λt − e ^%t

λ − % , λ 6 = %

te ^λt , λ = %

147