5. Monte Carlo - Verfahren
Beispiel Mehrfachintegral
Berechnung des n-dimensionalen Integrals Jn =
Z 1 0 ...
Z 1
0 dx1dx2...dxn (x1 + x2 + ...xn)2 mit Rechteckregel
JnR ≈ (∆x)n
N X
i1=1
....
N X
in=1
xi1 + xi2 + ...xin2 , xi = ∆x(i − 1)
und nach Monte Carlo - Verfahren (ohne Gewichtung) JnM ≈ 1
NT
NT X
i1=1
(ξ1 + ξ2 + ...ξn)2
mit gleichverteilten unkorrelierten Zufallsvariablen 0 ≤ ξi ≤ 1
und NT = Nn.
relative Fehler in Prozent:
E(%) = 100 ·
JnR,M − Jn
Jn , Jn = n
12 + n2 4
MC, n=1 100
100 1000 10
10 1
1 0.1
0.01
10–3
104 105 106 107 108 109 MC, n= 4
MC,n= 7
NT
m = 1/2
(%)
, n = 4
, n = 7
n= 1
rectan gle rectan
gle
rectan Er gle,
– Monte Carlo-Simulation im Vergleich zur Rechteckregel, n = 1,4,7 – Relativer Fehler in Prozent ¨uber der Anzahl der Gesamtst¨utzstellen N
Diffusionsgleichung und Metropolis-Algorithmus
∂tΦ(~r, t) = D ∆Φ(~r, t) − Q(~r, t) Funktional
F[Φ] =
Z
V d3~r
D
2|∇Φ|2 + QΦ
– Minimum von F −→ station¨are L¨osung Finite Diffferenzen (2D): Φ(x, y) → Φij:
F(Φij) =
M X
ij
D 8
(Φi+1,j − Φi−1,j)2 + (Φi,j+1 − Φi,j−1)2
+ Qij Φij ∆x2
∆F = D 2
Φ˜2mn − Φ2mn
+ D 4
Φ˜mn − Φmn
Qmn
D ∆x2 − Φm+1,n − Φm−1,n − Φm,n+1 − Φm,n−1
106 108 2 · 109 Variationen der Knotenpunkte
Temperatur T = 4 · 10−5, FD-Gitter 100 × 100 Q20,20 = 1, Q80,80 = −1
