Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas

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Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas

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Inhalt

Der herkömmliche Ansatz zur Simulation logarithmischer Renditen

Ansatz zur Simulation mit Copulas

Test und Vergleich der beiden Verfahren Fazit

Monte-Carlo-Simulationen mit Copulas

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Korrelationsansatz

Geometrische Brownsche Bewegung

für 1, … , Aktien im Zeitraum 0 und Wiener Prozess ~ 0,

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Korrelationsansatz

Geometrische Brownsche Bewegung

Mit festen Parametern

für 1, … , Aktien im Zeitraum 0 und Wiener Prozess ~ 0,

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Korrelationsansatz

Analytische Lösung

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Korrelationsansatz

Analytische Lösung

Darstellung der logarithmischen Rendite

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Korrelationsansatz

Analytische Lösung in Matrixschreibweise

- Aktienkurs einzelner Aktien zum Zeitpunkt t unabhängig voneinander - Entspricht nicht den Beobachtungen in der Realität !

=: α =:

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Korrelationsansatz

Abhängigkeitsstruktur mit Kovarianzmatrix

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Korrelationsansatz

Zufallsvariable ∊ um logarithmische Renditen zu simulieren mit

~ α , ∑ wobei

≔ α ∑

≁ α , ∑

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Korrelationsansatz

Erst Cholesky-Zerlegung von ∑ führt zum Ziel

∑ : α

~ α , bzw. ~ α ,∑

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Korrelationsansatz

Erst Cholesky-Zerlegung von ∑ führt zum Ziel

∑ : α

~ α , bzw. ~ α ,∑

wird mittels mit ~ ,! simuliert

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Korrelationsansatz

Ziel: Portfoliowert in K Tagen simulieren

1) Transformation der Tagesrenditen auf K-Tagesrenditen

2) Ermittlung der Simulationsparameter α und ∑

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Korrelationsansatz

Zu 1)

sei γ_# $ die l-te Tagesrendite der Aktie i und X die Beobachtungsmatrix

X :=

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Korrelationsansatz

Bsp.: Sei K=3

%

:= ^&

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Zu 2)

-Parameter ∑^&ist die Kovarianzmatrix von ^&

-Parameter α^&

Korrelationsansatz

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Monte-Carlo-Algorithmus

Korrelationsansatz

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Inhalt

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Copulaansatz

Können wirklich alle Abhängigkeiten durch die Korrelation erfasst werden?

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Copulaansatz

Gleiche Korrelation

Gleiche Randverteilungen

Aber unterschiedliche Abhängigkeitsstrukturen

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Copulaansatz

Gauß-Copula

- mit multivariater Normalverteilung der Dimension mit Korrelationsmatrix ' - univariate Standardnormalverteilung ɸ

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Copulaansatz

Gauß-Copula Dichte

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Copulaansatz

t-Copula

- mit multivariater t-Verteilung der Dimension mit Korrelationsmatrix ' und ν Freiheitsgraden

- univariate t-Verteilung mit ν Freiheitsgraden

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Copulaansatz

t-Copula Dichte

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Copulaansatz

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Numerische Tests

Tailabhängigkeit

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Numerische Tests

Bei Gauß-Copula gilt

- Für Korrelation * +1 ist λ_- λ_. 0

- Extreme Ausprägungen treten unabhängig voneinander auf

Bei t-Copula gilt

- Für Korrelation >-1 ist λ_- / 0 und λ_. / 0

- Extreme Ausprägungen treten tendenziell abhängig voneinander auf

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Copulaansatz

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Copulaansatz

Mit Hilfe des Satzes von Sklar kann die Simulation der Renditen aufgeteilt werden

0₁₂_,…,1₃ 4₅, … , 4 6₁₂ 7₅ , … , 6₁₃ 7

6₁₂_,…,1₃ 7₅, … , 7 0₁₂_,…,1₃ 6₁₂ 7₅ , … , 6₁₃ 7

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Copulaansatz

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Copulaansatz

Es gilt 8~0, denn: - 9~6 und 9_#~6_# mit stetiger, monotonwachsender Randverteilung - :_#~; 0,1

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Copulaansatz

- Für 6 und 6_#^<5 ɸ^<5 folgt die Gauß-Copula - Für 6 00 und 6_#^<5 ₌^<5 folgt die t-Copula

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Copulaansatz

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Copulaansatz

X erfüllt die gewünschte Verteilung, denn:

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Copulaansatz

Praktische Anwendung von Algorithmus 3:

1) Ermittlung der Randverteilungen 2) Wie werden die Copulaparameter

ermittelt?

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Copulaansatz

Zu 1)

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Copulaansatz

Für die Randverteilungen einzelner Beobachtungen kann ausgenutzt werden, dass

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Copulaansatz

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Copulaansatz

Wir erhalten dadurch eine Matrix ; mit ;_#,> 6_#,? 7_#,>

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Copulaansatz

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Copulaansatz

Bei praktischer Anwendung von Algorithmus 3 bleibt noch ein Problem offen:

- wie erfolgt die Auswertung von 6_#^<5 8_# ?

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Copulaansatz

Wir kennen nur die Auswertung der Randverteilungen an den einzelnen Beobachtungen 7_#,>

6_# 7_#,> @_#,> bzw. 6_#^<5 @_#,> 7_#,>

i.A. gilt 6_#^<5 8_# * 7_#,> für alle j

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Copulaansatz

Ist die Anzahl der Datensätze groß genug Randverteilung fast kontinuierlich

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Copulaansatz

Zu 2) Copula-Parameterschätzung Maximum-Likelihood-Methode:

Idee: Wähle denjenigen Parameter, der auf Grund der gemachten

Beobachtungen am plausibelsten erscheint

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Copulaansatz

Fasse dazu Beobachtungen als identisch verteilte und stochastisch unabhängige Zufallsvariablen auf

mit c als Dichte der Copula

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Copulaansatz

Randverteilungsparameter bereits implizit geschätzt

Monotonie Logarithmus und Maximum von logarithmierter Dichte an gleicher Stelle

Log-Maximum-Likelihoodfunktion

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Copulaansatz

Einsetzen der beobachteten Werte

Pseudo-Log-Maximum-Likelihoodfunktion

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Copulaansatz

Praktische Anwendung bei Gauß-Copula

- Maximum des Likelihoodschätzers für Parameter P

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Copulaansatz

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Copulaansatz

Praktische Anwendung bei t-Copula

- Parameter P über Beziehung zum Kendall‘schen Rangkorrelationskoeffizient τ

'B sin ^F_G H ;

- Freiheitsgrade ν mittels Log-Likelihoodschätzers max₌ $ 7, ν, 'B)

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Copulaansatz

(51)

Copulaansatz

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Inhalt

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Numerische Tests

In der Praxis ist VaR oft interessanter als PF-Wert Um ihn berechnen zu können, wird aus den

einzelnen Simulationsausgängen LM_> für N 1, … , O die Dichte approximiert

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Numerische Tests

Testportfolio mit Daten vom Unternehmen

02.01.2007 bis 29.07.2011 Portfoliogewicht

Dt. Telekom AG 25 %

RWE AG 25 %

BMW AG 25 %

Infineon AG 25 %

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Numerische Tests

Dichte und VaR bei 100.000 Simulationen mit t-Copula für α 0.99

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Numerische Tests

VaR bei 100.000 Simulationen

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Numerische Tests

Welcher Ansatz erzielt die besseren Ergebnisse?

Backtest:

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Numerische Tests

Gauß- oder t-Copula ?

Nach Ergebnissen von Herrn Deuß bildet die t- Copula die Abhängigkeitstruktur besser ab

Worauf könnte dies zurückzuführen sein?

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Numerische Tests

Untersuchung der Tail-Abhängigkeit für Aktien in unserem PF

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Numerische Tests

Tailabhängigkeitsschätzer für log-Renditen der Dt. Telekom AG und RWE AG

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Fazit

Standardkorrelationansatz bildet nicht die komplette Abhängigkeitsstruktur ab

Standardkorrelationsansatz unterschätzt das Risiko

Copulaansatz erfasst die Abhängigkeiten besser t – Copula im Markt mit Tailabhängigkeit besser geeignet als Gauß-Copula