Zeigen Sie: a) Es existiert ein d0 2 N, so dass fur alle d d0 das Linearsystem jdH Pr i=1mipij den Basisort f p1

Fachbereich Mathematik und Informatik Wintersemester 2008/09 Universitat Marburg

Prof. Dr. T. Bauer

Ubungen zur Algebraischen Geometrie { Blatt 8 {

Abgabe Dienstag, 9.12.2008, 10 Uhr s.t.

Aufgabe 26 (Divisoren von hohem Grad). (4 Punkte)

Es seien paarweise verschiedene Punkte p1; : : : ; pr 2 P² und naturliche Zahlen m1; : : : ; mr

gegeben. Zeigen Sie:

a) Es existiert ein d0 2 N, so dass fur alle d d0 das Linearsystem jdH P_r

i=1mipij den Basisort f p₁; : : : p_rg besitzt.

b) Es existiert ein d1 2 N, so dass fur alle d d1 die Abbildung '_jdH ^Pr_i=1mipijinjektiv ist.

(Hinweis: Betrachten Sie die Dimensionen der Linearsysteme jdH P_r

i=1m_ip_i pj bzw. jdH P_r

i=1mipi p qj fur p; q 2 P².)

Aufgabe 27 (Entfernen des Basisdivisors). (4 Punkte)

Es seien zwei Divisoren D₁ =P

a_iC_i und D₂ =P

b_iC_i gegeben. D₂ heit groer als D1

(D1 D2), wenn ai bi fur alle i gilt.

Sei P ein Linearsystem auf P²und B der Basisort von P . Wir betrachten den Basisdivisor von P , d.h. den groten eektiven Divisor F 2 P mit F D fur alle D 2 P (evtl. F = 0).

Zeigen Sie:

a) P F := f D F j D 2 P g ist ein Linearsystem mit dim(P F ) = dim P . b) Der Basisort B⁰ von P F ist endlich.

c) Die Abbildung '_{P F} : P²n B⁰ ! P^N ist eine Fortsetzung von '_P : P²n B ! P^N.

Aufgabe 28. (4 Punkte)

Es seien drei nicht kollineare Punkte p1; p2; p3 2 P² gegeben. Wir betrachten das Linear- system P = j2H p1 p2 p3j.

a) Bestimmen Sie den Basisort von P .

b) Finden Sie die kleinste abgeschlossene Menge T P², so dass 'P : P² n T ! P² injektiv ist.

c) Seien nun p1 = (1 : 0 : 0), p2 = (0 : 1 : 0) und p3 = (0 : 0 : 1). Bestimmen Sie die Bildmenge 'P(P²n T ) fur eine Wahl der Basis des Linearsystems.