Karlsruher Institut f¨ur Technologie Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 2016
Prof. Dr. A. Shnirman Blatt 3
PD Dr. B. Narozhny, P. Schad L¨osungsvorschlag
1. Using functional identities (10+10+15=35 Punkte, m¨undlich) (a) Maxwell-Beziehung:
Um die Maxwell-Beziehung zu zeigen betrachten wir das totale Differential der freien Energie F =F(T, V, N). Bei fester Teilchenzahl N:
dF =−SdT −pdV, (1)
wobei
S =− ∂F
∂T
V
, p=− ∂S
∂V
T
. (2)
Die Ableitungen von F nach V und T kommutieren:
∂
∂V ∂F
∂T
V
T
= ∂
∂T ∂F
∂V
T
V
(3) Wenn wir jetzt (2) in (3) einsetzen, finden wir die gesuchte Maxwell-Beziehung:
∂S
∂V
T
= ∂p
∂T
V
(4) Wir benutzen die Relationen aus Aufgabe 3 (a) von Blatt 1. Es wurde gezeigt dass die Funktionaldeterminante die Beziehung ∂(u,y)∂(x,y) = ∂u∂x|y (erste Relation in A 3(a) Blatt 1) erf¨ullt. Damit k¨onnen wir die beiden Ableitungen in Gl. (4) als Funktionaldeterminante schreiben, und erhalten die Beziehung
∂(S, T)
∂(V, T) = ∂(p, V)
∂(T, V) (5)
Daraus folgt
∂(S,T)
∂(V,T)
∂(p,V)
∂(T ,V)
= 1 (6)
Wir verwenden die dritte Relation aus Aufgabe 3 (a) von Blatt 1, und erhalten damit
∂(S, T)
∂(V, T) = ∂(T, S)
∂(T, V). (7)
Mit der vierten Relation in Aufg. 3 (a), Blatt 1, und Gl. (6) und (7) folgt
∂(T, S)
∂(p, V) =
∂(T ,S)
∂(T ,V)
∂(p,V)
∂(T ,V)
= 1. (8)
(b) Beziehung zwischen cp und cV:
Die W¨armekapazit¨aten sind definiert als cV =T
∂S
∂T
V
, cp =T ∂S
∂T
p
. (9)
Wir benutzen die zweite Relation von Aufgabe 3(c) auf Blatt 1 um cp zu schreiben als
cp =T ∂S
∂T
p
=cV +T ∂S
∂V
T
∂V
∂T
p
. (10)
Jetzt k¨onnen wir die Maxwell-Beziehung aus Teilaufgabe (a) verwenden:
cp−cV =T ∂p
∂T
V
∂V
∂T
p
(11) Schließlich benutzen wir die zweite Relation aus Aufgabe 3(b), Blatt 1: ∂V∂T
p =
− ∂T∂p
V / ∂V∂p
T. Wenn wir das in Gl. (11) einsetzen erhalten wir das gesuchte Ergebnis
cp −cV =−T
∂p
∂T
2
V
∂p
∂V
T
. (12)
(c) Gas im Beh¨alter:
(i) Zeige, dass die EnthalpieH(S, p, N) = U+pV konstant bleibt.
Wir betrachten das folgende Szenarion: Eine TeilmengeV1 des linken Gases (Druck p1) wird auf die rechte Seite (Druckp2) gebracht, und nimmt dort das VolumenV2 ein. Die ¨Anderung der gesamten inneren Energie ist ∆U =U1−U2 =p1V1−p2V2. Hier ist p1V1 die Arbeit die aufgewendet wird um die Menge des Gases links um V1 zu reduzieren, und p2V2 die Arbeit um das Volumen V2 auf der rechten Seite zu f¨ullen. Aus ∆U = 0 erhalten wir p1V1+U1 = p2V2+U2,was bedeutet dass die EnthalpieH =U +pV tats¨achlich konstant bleibt.
(ii) ¨Anderung der Temperatur:
Wir interessieren uns f¨ur die ¨Anderung der Temperatur bei konstanter Enthalpie (siehe (i)). Wir betrachten dazu
∂T
∂p
H
= ∂(T, H)
∂(p, H) =
∂(T ,H)
∂(p,T)
∂(p,H)
∂(p,T)
=− ∂H
∂p
T
∂H
∂T
p
. (13)
Eine kleine ¨Anderung der Enthalpie kann durch dH =dU+pdV +V dp=δQ+V dp ausgedr¨uckt werden. Deshalb ist bei konstantem Druck cp ≡ δQdT
p = ∂H∂T
p und damit
∂T
∂p
H
=−1 cp
∂H
∂p
T
(14) Wir m¨ussen also nur noch
∂H
∂p
T
berechnen. Dazu betrachten wir
dH =T dS+V dp=T
∂S(p, T)
∂T
p
dT +
∂S(p, T)
∂p
T
dp
!
+V(p, T)dp (15)
Die Ableitung vonH nachp bei konstanter Temperatur T ist deshalb ∂H
∂p
T
=T ∂S
∂p
T
+V (16)
F¨ur die verbleibende Ableitung
∂S
∂p
T benutzen wir (x) die Funktionaldeterminante (Blatt 1), (xx) die dritte und vierte Identit¨at aus Blatt 1, Aufg. 3(a) und (xxx) die Beziehung (8) aus Teilaufgabe (a):
∂S
∂p
T
(x)= ∂(S, T)
∂(p, T)
(xx)= ∂(S, T)
∂(p, V)
∂(p, V)
∂(p, T)
(xx)= −∂(T, S)
∂(p, V)
∂(p, V)
∂(p, T)
(xxx)
= −∂(p, V)
∂(p, T)
(x)= − ∂V
∂T
p
(17) Einsetzen in Gl. (16) liefert
∂H
∂p
T
=T
−∂V
∂T
p
+V (18)
Aus den Gln. (14) und (18) erhalten wir ∂T
∂p
H
=−1 cp
−T ∂V
∂T
p
+V
!
. (19)
Die ¨AnderungδT als Funktion von δp ist damit δT =−1
cp −T ∂V
∂T
p
+V
!
δp (20)
(iii) Entropie:
AusdH =T dS+V dp erhalten wir dS = dHT − VTdp, und damit gilt ∂S
∂p
H
=−V
T. (21)
Diese Gr¨oße ist immer negativ, da der oben beschriebene Prozess, bei dem ein Gas in eine Region niedrigeren Drucks expandiert, irreversibel ist. Die ¨Anderung der Entropie δS =−VTδp >0 (beachte dass δp <0).
2. Generierende Funktion und zentraler Grenzwertsatz (5+5+5+10=25 Punkte, schriftlich)
(a) Zeige, dass die charakteristische Funktion Momente erzeugt.
Wir beginnen mit
φX(k) = Z
dxP(x)eikx. (22)
Die Ableitungen nachk sind dn
dknφX(k) = dn dkn
Z
dxP(x)eikx =in Z
dxP(x)xneikx. (23) Mit der Definition des Erwartungswerts h. . .i folgt direkt
dn
dknφX(k)|k=0 =inhxni (24) (b) Kumulanten: Die Kumulanten Cn(X) sind definiert ¨uber
φX(k) := exp X
n
Cn(X)(ik)n n!
!
. (25)
Der Logarithmus dieses Ausdrucks ist lnφX(k) = X
n
Cn(X)(ik)n n!
!
, (26)
deshalb kann der m-te Kumulant einfach aus Cm(X) = 1
im
dmlnφX(k)
dkm |k=0 (27)
erhalten werden. Damit finden wir f¨ur den ersten Kumulanten C1(X) = 1
i
dlnφX(k) dk |k=0
= 1 i
d dk ln
Z
PX(x)eikxdx
|k=0
=
R PX(x)xdx
R PX(x)dx =hXi (28)
und den zweiten Kumulanten C2(X) = 1
i2
d2lnφX(k) dk2 |k=0
= 1 i
d dk
R PX(x)eikxxdx R PX(x)eikxdx |k=0
=
R PX(x)x2dx R PX(x)dx −
R PX(x)xdx R PX(x)dx
2
= hX2i −(hXi)2 (29)
(c) unabh¨angige Variablen:
Wir kennenφX1(k) andφX2(k). Aus der Definition der charakteristischen Funktion erhalten wir f¨ur die Variable X1+X2
φX1+X2(k) = Z
dx1 Z
dx2P(X1, X2)eik(x1+x2)
= Z
dx1
Z
dx2P(X1)P(X2)eik(x1+x2)
= φX1(k)φX2(k). (30)
P(X1, X2) ist hier die gemeinsame Wahrscheinlichkeitsverteilung der Variablen X1 und X2. In der zweiten Zeile haben wir benutz, dass f¨ur unabh¨angige Zufallsvaria- blen P(X1, X2) =P(X1)P(X2) erf¨ullt ist.
(d) Zentraler Grenzwertsatz:
Wir betrachten eine Zufallsvariable SN =
PN i=1Xi
N . Dem Hinweis folgend zeigen wir zun¨achst die angegebene Gleichung f¨ur die Kumulanten. Wir k¨onnen die gemeinsa- me charakteristische Funktion durch die einzelnen char. Funktionen ausdr¨ucken:
φSN(k) = heikSNi=hexpik PN
i=1Xi
N i=
N
Y
i=1
hexpikXi
N i=
φX k
N N
(31) Wir benutzen die obige Gleichung, um einen Zusammenhang zwischen den unter- schiedlichen Kumulantenentwicklungen herzustellen:
φX
k N
N
=
"
exp X
m
Cm(X) inkm
m!
!#N
= φSN(k) = exp X
m
Cm(SN)(ik)m m!
!
(32) Aus dem Vergleich der ersten und zweiten Zeile von Gl. (32) schliessen wir dass Cm(SN) = NNmCm(X). Das legt nahe, dass f¨ur große N nur C1(SN) and C2(SN) wichtig sind und dass SN gaußverteilt ist. Wenn wir uns auf die ersten beiden Kumulanten beschr¨anken, im Grenzwert großer N, erhalten wir aus den Gln. (31) und (32)
φSN(k) ≈ exp
ikC1(SN)− k2
2 C2(SN)
= exp
ikhXi − k2
2C2(X)/N
(33) Hier haben wir die Relation Cm(SN) = NNmCm(X) benutzt. Eine inverse Fourier- transformation liefert f¨ur die Wahrscheinlichkeitsverteilung
PSN(s) = 1 2π
Z
e−iksφSN(k)dk
= 1
2π Z
dkexp
−iks+ikhXi − k2 2NσX2
. (34)
Wir haben hierC2(X) = σ2X aus Teilaufgabe (b) benutzt. Mit quadratischer Ern¨anzung finden wir
PSN(s) = s
N 2πσ2X exp
−N(s− hXi)2 2σX2
, (35)
was einer Gauß-Verteilung entspricht. Wir lesen ab, dass Mittelwert und Varianz durch hXi und σ2S = σN2X gegeben sind.
3. Gaußverteilung f¨ur mehrere Variablen (15(a-d) +10(e-g)=25 Punkte, schriftlich)
Definition der Gaußverteilung ρ(ξ1, . . . , ξM) =
s detA
(2π)M exp −1 2
M
X
i,j
ξiAijξj
!
(36)
F¨ur (a)-(d) skizzieren wir zwei m¨ogliche L¨osungswege. Eine M¨oglichkeit ist, durch Dia- gonalisieren der Matrix A die Integrale der Teilaufgaben (a)-(c) direkt zu berechnen, (d) erh¨alt man durch quadratische Erg¨anzung. Alternativ kann man auch zuerst die charakteristische Funktion bestimmen und daraus die Ergebnisse f¨ur (a)-(d) ableiten.
Zur ersten M¨oglichkeit:
Die Matrix A ist symmetrisch und positiv definit, d.h. alle Eigenwerte sind > 0.
Die Matrix kann durch eine Transformation mit einer orthogonalen Matrix O (OT = O−1,detO = 1) diagonalisiert werden. Die resultierende Diagonalmatrix nennen wir DA:
DA=OTAO, A=ODAOT, detDA= detA. (37) Wir transformieren den Exponenten der Gauß-verteilung. In Vektorschreibweise, ξT = (ξ1, ..., ξM),
−1
2ξTAξ =−1
2(ξ0)TDAξ0 (38)
mit neuen Variablen ξ0 =OTξ (bzw.ξ =Oξ0).
(a) In der Diagonaldarstellung sieht man dass hξi0i = 0, weil der Integrand wegen ξi0 antisymmetrisch ist. Daraus folgt
hξii=
M
X
j
Oijhξ0ji= 0. (39)
(b),(c) Das Integral in hξk0ξ0li ist nur f¨ur k = l ungleich Null. Mit der Diagonalmatrix (invertierbar da alle Eigenwerte >0) k¨onnen wir schreiben
hξk0ξl0i= D−1A
kl (40)
F¨ur den Erwartungswert hξiξji dr¨ucken wir die Variablen ξi wieder durch ξi0 aus und finden durch Umformen und mit (40)
hξiξji= A−1
ij =Gij (41)
Den Erwartungswert (d) erh¨alt man durch eine quadratische Erg¨anzung. Das funktio- niert genauso wie bei der charakteristischen Funktion, siehe unten.
Zur zweiten M¨oglichkeit:
Wir betrachten die charakteristische Funktion
φ(λ1, . . . , λM) =heiPMj=1λjξji Mit der Definition des Erwartungswerts ergibt sich
φ(λ1, . . . , λM) =
√ detA (2π)M/2
Z ∞
−∞
dMξ e−12PMi,j=1ξiAijξj+iPMj=1λjξj
Zur Berechnung des Integrals wird der Exponent mittels quadratischer Erg¨anzung (mehrdimensional !) umgeschrieben:
−1 2
M
X
i,j=1
ξiAijξj+i
M
X
j=1
λjξj +1 2
M
X
i,j=1
λiGijλj− 1 2
M
X
i,j=1
λiGijλj
mit Gij = [A−1]ij. Es gilt
Aij =Aji ⇒ Gij =Gji,
M
X
j=1
AijGjk =δik,
M
X
j=1
GijAjk =δik.
Die ersten drei Summanden k¨onnen zusammengefasst werden zu
−1 2
M
X
i,j=1
ξi−iX
k
λkGki
!
Aij ξj−iX
k
Gjkλk
!
=−1 2
M
X
i,j=1
yiAijyj
mit yj =ξj −iP
kGjkλk =ξj −iP
kλkGkj. Wir erhalten somit schließlich
φ(λ1, . . . , λM) =
√ detA (2π)M/2
Z ∞
−∞
dMy e−12PMi,j=1yiAijyj
| {z }
=1 (Normierung)
e−12PMi,j=1λiGijλj
φ(λ1, . . . , λM) =e−12PMi,j=1λiGijλj
Die Erwartungswerte (a) bis (c) k¨onnen jetzt einfach durch Ableiten aus der charakte- ristischen Funktion bestimmt werden:
(a)
hξii= 1 i
d
dλiφ(λ1, . . . , λM)
λ1=...=λM=0 =−1 i
M
X
j=1
Gijλj
λj=0
= 0 (b)
hξi2i − hξii2 =− d2
dλ2iφ(λ1, . . . , λM)
λ1=...=λM=0 =Gii
(c)
hξiξji=− d2
dλidλjφ(λ1, . . . , λM)
λ1=...=λM=0
=Gij (d)
heiβPMk=1ξki=φ(β, β . . . , β) =e−β
2 2
PM i,j=1hξiξji
.
Hier setzen wir λ1 =λ2 =· · ·=λM =β und substituieren hξiξji f¨ur Gij.
(e) Wir definieren tj = j∆t, ∆t = Mτ , j = 1, . . . , M (wir k¨onnen tj auch um ∆t2 verschieben, das gibt dasselbe). Genau betrachtet erhalten wir damit das Intervall [∆t, τ] und nicht [0, τ], aber f¨ur große M verschwindet diese Diskrepanz. Integrale diskretisieren wir folgendermaßen
Z τ
0
dtf(t) → X
j
∆t·f(tj) . Damit wird
ρ({ξ(t)})∼e−12PMij=1ξ(ti)(∆t)2g−1(ti−tj)ξ(tj)
Um die Verbindung zur diskreten Verteilungsfunktion in Gl. (36), setzen wir ξi =ξ(ti), Aij = (∆t)2g−1(ti−tj).
(f) Wir f¨uhren die BezeichnunghAic f¨ur die Mittelung mit der kontinuierliche Vertei- lungsfunktion, und hAid f¨ur die Mittelung mit der diskreten Verteilungsfunktion ein. Wir diskretisieren hexp
iRτ
0 dtξ(t)
ic, und erhaltenhexph
i∆tPM k=1ξki
id. Aus Aufgabe 1 wissen wir jedoch, dass
* exp
"
i∆t
M
X
k=1
ξk
#+
d
= exp
"
−(∆t)2 2
M
X
ij=1
hξiξjid
# .
Damit ergibt sich, nachdem wir auf der rechten Seite die Doppelsumme im Expo- nenten wieder durch ein Doppelintegral ersetzen, die gesuchte Beziehung:
exp
i
Z τ
0
dtξ(t)
c
= exp
−1 2
Z τ
0
dt Z τ
0
dt0hξ(t)ξ(t0)ic
. (g) Wir finden ti am n¨achsten zut und tj am n¨achsten zut0.
Da hξiξjid =Gij = [A−1]ij, ben¨otigen wir A−1.
Ein kurzer Ausflug in die Theorie der (linearen) Integralgleichungen:
Die Gleichung x=Ky sei wie folgt zu verstehen:
x(r) = Z
K(r, r0)y(r0)dr0 , (42) wobei K(r, r0) der Integralkern ist. Die L¨osung dieser Gleichung ist dann
y(r) = Z
K(r, r¯ 0)x(r0)dr0 . (43) Mit ¯K ≡ K−1 erhalten wir y = K−1x. Also K−1 ist einfach das Inverse des Integralkerns.
Nun betrachten wir als definierende Gleichung f¨ur g(t −t0) folgenden Ausdruck (Beachte, dass g−1(t−t0) nicht die Umkehrfunktion ist, wie man sie in Analysis I oder HM I kennenlernt...):
Z τ
0
dt00 g−1(t−t00)g(t00−t0) = δ(t−t0).
Diskretisiert lautet diese Gleichung
∆t
M
X
j=1
g−1(ti−tj)g(tj −tk) = δik
∆t
|{z}
(diskretisierte Deltafunktion)
Warum? Die diskretisierte Form der Deltafunktion, δD(ti−tj), erh¨alt man aus der Normierung f¨ur die Deltafunktion:
Z τ
0
dt δ(t−t0) = 1 ⇒ ∆t
M
X
j=1
δD(ti−tj)
| {z }
δij/∆t
= 1.
Also folgt PM
j=1[g−1]ijgjk =δik/(∆t)2. Da aber andererseits (∆t)2[g−1]ij =Aij ⇒ PM
j=1Aijgjk =δik ist, folgt [A−1]ij =gij =g(ti−tj).
Damit erhalten wir die gesuchte Beziehung:
hξ(t)ξ(t0)ic
| {z }
“Korrelationsfunktion”
= g(t−t0)
| {z }
(Maß f¨ur Korrelationen)
.
N¨aherung gut, wenn ∆t klein gegen¨uber der Reichwerte der Korrelationen ist, d.h.
g(∆t)≈g(0).
4. Station¨are L¨osung der Liouville-Gleichung: (15 Punkte, m¨undlich) ....Zeigen Sie nun mit Hilfe der klassischen Liouville-Gleichung, dass eine Gibbs-Verteilung ρ, die nur ¨uber die Energie von bsx abh¨angt, station¨ar ist, ∂t∂ρ(H(x)) = 0.
Die klassische Liouville Gleichung (vergleiche QM: von Neumann Gleichung) lautet i∂ρ
∂t =−i
H , ρ . (44)
Hierbei bezeichnet{·,·}die klassiche Poissonklammer (und nicht den Antikommutator).
Die Poissonklammer ist folgendermaßen definiert:
A , B =
3N
X
j=1
∂A
∂pj
∂B
∂qj − ∂A
∂qj
∂B
∂pj
(45) Es bleibt also zu zeigen, dass {H(x), ρ(H(x))}= 0 ist (x= (q,p)).
H(x), ρ(H(x)) =
3N
X
j=1
∂H
∂pj
∂ρ
∂H
∂H
∂qj −∂H
∂qj
∂ρ
∂H
∂H
∂pj
= 0 , (46)
da alle (klassischen) Gr¨oßen miteinander vertauschen.
