Übung 1 - Mathematischer Einschub: Fourier-Transformation (1+2=3 Punk- te)

Übungsblatt # 12 zur Vorlesung Klassische Theoretische Physik III

Karlsruher Institut für Technologie Institut für Theoretische Festkörperphysik

Karim Mnasri (karim.mnasri@kit.edu)

Prof. Dr. Carsten Rockstuhl (carsten.rockstuhl@kit.edu)

Übung 1 - Mathematischer Einschub: Fourier-Transformation (1+2=3 Punk- te)

Die Fourier-Transformation wurde in der Vorlesung definiert durch f(k) =˜

ˆ

Rⁿ

drf(r)e^ir·k, wobeikdie zurkonjugierte Größe ist.

(a) Berechnen Sie Fourier-Transformation der normierten Gauß-Funktion gσ(x) = 1

√πσe^−x

2 σ2

und untersuchen Sie für ˜g_σ(k) den Grenzfallσ→0. Interpretieren Sie bitte kurz die Funktion im Real- und Fourierraum.

Hinweis:´∞

−∞e^−x2dx=√ π

(b) Berechnen Sie die Fourier-Transformation des Coulomb Potentials imR³ V(r) = q

4π₀r mitr=|r|

Hinweis: Sie werden bei der Transformation merken, dass dies auf Grund der Divergenz im Unendlichen nicht trivial ist. Als Hilfsmittel, ergänzen Sie zunächst das Potential mit einem konvergenz-erzeugenden Faktor, d.h. V(r)→V(r)e^−αr und und nehmen Sie anschließend den Grenzwertα→0⁺.

Übung 2 - Elektronen in äußerem elektromagnetischen Feld (1+1+2=4 Punkte)

Elektronen, die einerseits an Atome gebunden sind, sich zudem jedoch auch in einem äußeren elektro- magnetischen Feld befinden, gehorchen der Bewegungsgleichung

m

¨ r+1

τr˙+ω²₀r

=−qE,

wobei−qdie Ladung des Elektrons und 1/τ ein Maß für die Dämpfung ist.ω0 sei die Eigenfrequenz der Elektronen.

(a) Stellen Sie die Bewegungsgleichung für das Dipolmomentp=−qreines Atoms auf!

(b) Die Polarisierbarkeitαist definiert durch p=αE. Bestimmen Sie mit Hilfe der obigen Bewe- gungsgleichung die Polarisierbarkeitα0im statischen Fall.

(c) Nun sei ein Wechselfeld der Zeitabhängigkeit∼e^−iωtgegeben. Bestimmen Sie die Polarisierbar- keitαfür diesen Fall. Stellen Sie Real- und Imaginärteil vonαin Abhängigkeit vonω dar.

1

Übung 3 - Maxwell-Gleichungen: Dualität und magnetische Monopole (2+2+1=5 Punkte)

Die dualen elektromagnetischen Felder sind definiert durch folgende Rotation E˜

B˜

=

cos(ζ) −c₀sin(ζ) sin(ζ)/c0 cos(ζ)

·

E

B

wobei ζ ∈ [0,2π] eine beliebige, aber feste Zahl ist, und die Felder E = E(r, t) und B = B(r, t) den gewöhnlichen Maxwell-Gleichungen mit (elektrischer) Ladungsdichte ρ(r, t) und (elektrischer) Stromdichtej(r, t) genügen.

(a) Zeigen Sie, dass die Felder ˜E(r, t) und ˜B(r, t) den dualen Maxwell-Gleichungen

∇ ·E˜ = ρ˜e

₀ ∇ ×E˜ =− ˜j_m+∂_tB˜

∇ ·B˜ = ˜ρm ∇ ×B˜ =µ0 ˜je+0∂tE˜

genügen. Bestimmen Sie diemagnetische undelektrischeLadungsdichten, ˜ρ_mund ˜ρ_e, sowie die zugehörigen Stromdichten ˜jmund ˜je.

(b) Untersuchen Sie, ob die magnetischen und elektrischen Ladungen erhalten sind, d.h. ob sie Kontinuitätsgleichungen genügen. Zeigen Sie weiterhin, dass die Lorentz-Kraftdichte

˜f(r, t) :=ρ˜m

µ0

B˜ −0˜jm×E˜ + ˜ρeE˜ + ˜je×B˜

dieübliche(f(r, t) =ρeE+je×B) Lorentz-Kraftdichte erfüllt.

(c) Interpretieren Sie die Ergebnisse aus a) und b) hinsichtlich der Bedeutung elektrischer und magnetischer Ladungen sowie insbesondere im Hinblick auf die vielfach und durchweg sehr kontrovers diskutierte Frage nach der Existenz magnetischer Ladungen.

Hinweis: Berechnen Sie dazu das Verhältnis

˜ ρm(r, t)

˜ ρ_e(r, t)

der Ladungsdichten und beachten Sie, dass diese Verhältnis an unterschiedlichen Orten r und/oderunterschiedlichenZeitent (eigentlich)unterschiedlicheWerte liefern kann.

Abgabetermin:Freitag, 22. 01. 2016 um 9:45 Uhr.

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