1. Die Funktion ˜ g : E 2 \{0} =: D(˜ g) −→ E 1 sei erkl¨ art durch:

Methoden der mathematischen Physik Ubungsaufgaben , Serie 4: ¨

PD Dr. B. Rummler 19.05. 2017

1. Die Funktion ˜ g : E ² \{0} =: D(˜ g) −→ E ¹ sei erkl¨ art durch:

˜

g(x) : = − log kxk _E

2π ∀ x ∈ D(˜ g) . Uberpr¨ ¨ ufen Sie, dass ˜ g ∈ L ^loc ₁ ( R ² ) gilt.

Zeigen Sie analog zum Beweis von Satz 1 (Abschnitt 2.2), dass die durch ˜ g erkl¨ arte Distribution ˜ G Fundamentall¨ osung der Laplacegleichung im R ² ist.

2. Polar-(Kugel-)koordinaten im R ⁿ erkl¨ art man unter Verwendung von r := kxk _E

durch:

x =













 x ₁ x ₂ .. . x n−1

x _n













 :=















r · cos ϑ ₁ r · sin ϑ ₁ cos ϑ ₂

.. .

r · sin ϑ ₁ · · · sin ϑ n−2 cos ϑ n−1

r · sin ϑ ₁ · · · sin ϑ _n−2 sin ϑ _n−1















(◦) .

bei ϑ _j ∈ [0, π] ∀ j = 1, . . . , n − 2 und ϑ n−1 ∈ [0, 2π)

Berechnen Sie die Jacobi-Determinante der Transformation und geben Sie f¨ ur die Kugel mit dem Radius r = R das Oberfl¨ achenelement an.

3. Vorgegeben sei die Helmholtzsche Gleichung im R ³ bei k ∈ N in Gestalt der Glei- chung f¨ ur Fundamentall¨ osungen ˜ G (I _H δ):

− (4 G ˜ + k ² G) = ˜ δ (I H δ)

Desweiteren seien die Funktionen ˜ g ± : E ³ \{0} =: D(˜ g ± ) −→ E ¹ erkl¨ art durch:

˜

g _± (x) : = exp (±i kkxk _E

)

4πkxk _E

∀ x ∈ D(˜ g ) .

Uberpr¨ ¨ ufen Sie, ob die Funktionen ˜ g _± zu L ^loc ₁ ( R ³ ) geh¨ oren und ob durch die mittels

˜

g ± erkl¨ arten Distributionen ˜ G ± Fundamentall¨ osungen (von (I _H δ)) sind.

4. Geben Sie alle harmonischen Polynome h¨ ochstens zweiten Grades im E ³ an. Leiten Sie aus der Laplace-Gleichung unter Verwendung der Polar-(Kugel-)koordinaten im R ³ aus Aufgabe 6. eine partielle Differentialgleichung f¨ ur die harmonischen Polynome auf dem Rand ω ₃ der Einheitskugel K(0, 1) im E ³ her.

Erzeugen Sie aus den harmonischen Polynomen h¨ ochstens zweiten Grades eingeschr¨ ankt

auf ω ₃ ein L 2 (ω ₃ )-Orthonormalsystem.