6. ¨ Ubung zur Informatik I

Prof. Dr. R. Schrader SS 2002 Ch. Hagemeier

6. ¨ Ubung zur Informatik I

Abgabe: 5. und 6.06.2002 in den ¨Ubungsgruppen

Aufgabe 17: (2+4 Punkte)

Es sollen die Daten einer Datei f1 unter Benutzung von zwei weiteren Hilfsdateien f2 und f3sortiert werden. Die Dateien k¨onnen nur streng sequentiell gelesen werden. Sei außerdem ein Lauf eine bereits sortierte Teilfolge.

Das in dieser Aufgabe betrachtete Verfahren wiederholt die beiden Schritte

• Verteile maximale L¨aufe aus f1 abwechselnd auf f2 und f3.

• Mische maximale L¨aufe aus f2 und f3 paarweise zu sortierten L¨aufen auf f1. solange, bis f1 genau einen Lauf enth¨alt.

a) Zeigen Sie die Arbeitsweise des Algorithmus am Beispiel

( 2 1 4 10 6 12 18 16 22 30 28 36 42 40 46 58 56 60 70 66 ) auf.

b) Beweisen Sie die Korrektheit und bestimmen Sie die Komplexit¨at des Verfahrens.

Aufgabe 18: (4+6 Punkte)

Seien a1, . . . , an und b1, . . . , bn zwei absteigend sortierte Folgen der L¨ange n = 2^k, die zu einer absteigend sortierten Folgez1, . . . , z2n zu mischen sind. Seien dazu x1, . . . , xn die aus a1, a3, . . . , an−1 und b1, b3, . . . , bn−1 absteigend sortierte gemischte Folge und y1, . . . , yn die aus a2, a4, . . . , an und b2, b4, . . . , bn absteigend sortierte gemischte Folge.

a) Zeigen Sie die folgenden Aussagen: z1 =x1, z2i = max(xi+1, yi), z2i+1 = min(xi+1, yi) und z2n =yn.

b) Formulieren Sie einen rekursiven Algorithmus in der Pseudoprogrammiersprache zum Sortieren einer n–elementigen Menge mit obiger Idee und zeigen Sie, daß dieser eine worst–case Laufzeit vonO(nlogn) hat.

Aufgabe 19: (3 Punkte)

Wir betrachten bin¨are B¨aume, deren Knoten genau zwei oder keinen Nachfolger haben.

Knoten ohne Nachfolger heißen Bl¨atter. Zeigen Sie, daß alle solchen bin¨aren B¨aume mit n Bl¨attern dieselbe Gesamtzahl Knoten besitzen, und bestimmen Sie diese.

Aufgabe 20: (2+4 Punkte) Sei u die Menge aller W¨orter der L¨ange l ¨uber einem m–elementigen Alphabet, sei S ⊆U und sei T(S) der zu S geh¨orende TRIE.

a) Zeigen Sie, daß der Speicherplatzbedarf f¨urT(S) durch O(|S| ·l·m) beschr¨ankt ist.

b) Modifizieren Sie die TRIE–Struktur so, daß der Speicherplatzbedarf durchO(|S| ·m) beschr¨ankt ist (Hinweis: Aufgabe 19).