1. ¨ Ubung zur Informatik I

Prof. Dr. R. Schrader SS 2002 Ch. Hagemeier

1. ¨ Ubung zur Informatik I

Abgabe: 23.4. und 24.4.2002 in den ¨Ubungen

Aufgabe 1: (3 Punkte)

Gegeben sei das Polynom

P(n) = a_kn^k+a_k−1n^k−1+. . .+a₀ mit k ∈IIN, Konstanten a_j ∈IR f¨ur j = 0, . . . , k und a_k >0.

Zeigen Sie, daß folgendes gilt:

a) P(n)−a_kn^k =O(n^k−1) b) P(n) = Θ(n^k)

Aufgabe 2: (6 Punkte)

Beweisen oder widerlegen Sie:

a) n²−7n+ 5 = Θ(nlogn) b) 5·log₁₀(n³) = Θ(log₂n)

c) f(n) :=

n²+ 6n f¨ur n≤10⁶ 10¹²+ 6·10⁶ f¨ur n >10⁶ Dann gilt: f(n) = Ω(n²).

d) b√³

nc= Θ(b√

nc) bxc bezeichnet die gr¨oßte ganze Zahl kleiner gleich x.

e) 3ⁿ= Θ(2ⁿ) f) F¨ur H(n) :=

n

P

i=1 1

i gilt H(n) = Θ(log₂n).

Aufgabe 3: (4 Punkte)

Der Binomialkoeffizient ⁿ_k

= _k!(n−k)!^n! kann rekursiv durch die Formel n+ 1

k

= n

k

+ n

k−1

ausgedr¨uckt werden. Beschreiben Sie einen rekursiven Algorithmus, der den Binomialkoef- fizienten berechnet. ⁿ₀

= ⁿ_n

= 1. Analysieren Sie die Laufzeit Ihres Algorithmus.

Aufgabe 4: (3 Punkte)

Es sei P(x) =a_nxⁿ+. . .+a₁x+a₀ ein Polynom vom Grad n mit P(x) =P(−x) f¨ur alle x ∈ IR. Geben Sie ein Verfahren an, das zur Auswertung des Polynoms an der Stelle x₀ mit n/2 + 1 Multiplikationen und n/2 Additionen auskommt.