Julius-Maximilians-Universit¨ at W¨ urzburg Mathematisches Institut
Prof. Dr. H. Pabel
PD Dr. Oliver Roth, Dr. Daniela Kraus, Ralf Winkler
W¨urzburg, den 30. November 2005
6. ¨ Ubung zur Analysis I
Wintersemester 2005/06
21.) F¨ur n ∈ sein! := n·(n−1)·. . .·2·1. Ferner sei 0! := 1. F¨ur α∈ und n∈ 0 werde der (verallgemeinerte) Binomialkoeffizient αn
erkl¨art durch α
0
:= 1 und f¨urn∈
α n
:= 1 n!
n−1
Y
k=0
(α−k). a.) Beweisen Sie das Additionstheorem
α+ 1 n
= α
n
+ α
n−1
. b.) Zeigen Sie speziell f¨ur m∈ 0 undm≥ndie Darstellung mn
= n!(m−nm! )! und beweisen Sie f¨ura, b∈ ,n∈ diebinomische Formel:
(a+b)n =
n
X
k=0
n k
akbn−k.
22.) a.) Zeigen Sie f¨ur k∈ , k≥2 und 0< x <1 die Ungleichung (1−x)k > 1−kx .
b.) Zeigen Sie f¨ur q∈ undn∈ diegeometrische Summenformel:
(1−q)·
n−1
X
k=0
qk = 1−qn.
23.) a.) Zeigen Sie: Eine TeilmengeM⊂ n ist genau dann offen, wenn es zu jedem x∈M ein >0 gibt mit U(x)⊂M.
b.) Beweisen Sie: SindA1, . . . , An offene Teilmengen von , so ist auchA1×. . .×Anoffen in n. c.) Welche der folgenden Teilmengen von sind offen oder abgeschlossen?
M1 = M2= M3 =
∞
[
n=1
1 n+ 1, 1
n
.
Hinweis:Zeigen Sie vor der Untersuchung vonM2: Zu zwei Zahlen p1, p2 ∈ ,p1< p2 gibt es eine Zahl a∈ \ mitp1< a < p2.
24.) Es seiX ein normierter Raum. Beweisen Sie:
a.) SeiK⊂X kompakt. Dann istK beschr¨ankt.
b.) Es seiW ⊂X kompakt undK⊂W abgeschlossen. Dann istK kompakt.
Abgabe der schriftlichen L¨osungen bis sp¨atestensMittwoch, den 07. Dezember, 12:00 Uhr, in die richtigen Briefk¨asten neben der Mathe/Info-Teilbibliothek.
Bitte beachten: Fragestunden zur Analysis: Dienstag 16:00-16:45, 17:00-17:45 im SE36
