3. ¨Ubung zur Vorlesung
Elemente der angewandten Mathematik
R. Winkler / K. Blankenagel SS 2017
Aufgabe 1: In einem ebenen rechtwinkligen Koordinatensystem ist ein F¨unfeck gegeben durch die Eckpunkte A= (0,0), B = (3,0), C = (4,1), D= (2,3) undE = (0,2).
a) Zeichnen Sie das F¨unfeck in ein passendes Koordinatensystem ein.
b) Geben Sie Gleichungen der Geraden an, auf denen die F¨unfecks-Seiten liegen.
c) Beschreiben Sie das Innere des F¨unfecks als L¨osungsmenge eines Ungleichungssy- stems.
Aufgabe 2: Ein Landwirt m¨ochte auf h¨ochstens 40 ha seines Landes Weizen und Zuckerr¨uben anbauen. Das erfordert 4 Tage Arbeitsaufwand pro Hektar Weizen und 6 Ta- ge Arbeitsaufwand pro Hektar Zuckerr¨uben. Er hat h¨ochstens 220 Arbeitstage im Jahr zur Verf¨ugung. Ferner kostet der Anbau von Weizen 160EUR pro Hektar und der von Zuckerr¨uben 220EUR pro Hektar. Mehr als 6880EUR Kapital steht dem Landwirt nicht zur Verf¨ugung. Wieviel Weizen und wieviel Zuckerr¨uben sollte er mit dem Ziel der Ge- winnmaximierung anbauen, wenn er beim Verkauf seiner Erzeugnisse einen Reinerl¨os von 900EUR pro Hektar Weizen und von 1100EUR pro Hektar Zuckerr¨uben erzielt?
Gehen Sie dazu wie folgt vor:
a) Erstellen Sie aus der Aufgabenstellung ein Maximierungsproblem.
- Was sind die Unbekannten? Welche Restriktionen bestehen? Was ist die Zielfunk- tion?
b) L¨osen Sie das Problem zeichnerisch.
- Skizzieren Sie die Restriktionsmenge.
- Skizzieren Sie Geraden gleicher Zielfunktionswerte (“Isogewinngeraden”) - Geben Sie die Optimall¨osung und den Optimalwert an.
Aufgabe 3: Mutter Courage handelt w¨ahrend des 30j¨ahrigen Krieges mit Schießpulver und Branntwein. Dies lagert und transportiert sie in einem Planwagen. Im Wagen kann sie h¨ochstens 290 Liter Branntwein und h¨ochstens 180 Beutel Schießpulver aufbewahren.
Zus¨atzlich ist die Kapazit¨at des Wagens auf ein Gewicht von maximal 350 kg beschr¨ankt.
Wir nehmen an, dass beide, 1 Liter Branntwein und 1 Beutel Schießpulver, ein Gewicht von 1 kg haben.
Mutter Courage hat 3 Kinder, die f¨ur den Verkauf des Branntweins und des Schießpulvers zust¨andig sind. Sie ben¨otigen 12 Minuten um 1 Liter Branntwein und 30 Minuten um 1
Beutel Schießpulver zu verkaufen. Die Kinder sollten zusammen genommen nicht mehr als 100 Stunden pro Woche arbeiten. Der Gewinn, um 1 Beutel Schießpulver zu verkaufen, betr¨agt 30 Gulden, f¨ur 1 Liter Branntwein 15 Gulden. Es kann außerdem davon ausge- gangen werden, dass die Nachfrage nach beiden Produkten unbegrenzt ist.
Wie viele Liter Branntwein und wie viele Beutel Schießpulver sollte Mutter Courage jede Woche kaufen, um ihren Gewinn zu maximieren?
a) Finden Sie ein lineares Optimierungsmodell f¨ur das Problem.
b) L¨osen Sie das Problem graphisch.
Hausaufgabe 1:In einer Fabrik werden zwei verschiedene Sorten von Kabeln hergestellt und mit Gewinn von 1,50 (Typ A) bzw. 1 Euro (Typ B) pro Meter verkauft. F¨ur 100m Kabel des Typs A ben¨otigt man 16kg Plastik und 4kg Kupfer. F¨ur Kabel des Typs B ben¨otigt man 6kg Plastik und 12kg Kupfer. Aus technischen Gr¨unden darf die produzierte Menge von B nicht gr¨oßer sein als die doppelte Menge von A. Der Materialvorrat betr¨agt derzeit 2160kg Plastik und 960kg Kupfer.
a) Formulieren Sie ein lineares Optimierungsproblem, als dessen L¨osung sich die m¨ogli- chen Produktionsmengen mit maximalem Gesamtgewinn ergeben.
b) Skizzieren Sie den Restriktionsbereich und Isogewinngeraden und ermitteln Sie gra- phisch die Ecke mit der Optimall¨osung.
c) Berechnen Sie die Optimall¨osung als Schnittpunkt zweier Geraden exakt. Wie groß ist der m¨ogliche Gewinn?
Hausaufgabe 2: Maximieren Sie die Zielfunktion z(x, y) = x−3y unter den Nebenbe- dingungen
x+y≤5, x−y ≥ −3, y≤5, x≤2, x≥0, y ≥0 L¨osen Sie das Problem graphisch.
