7. ¨Ubung zur Vorlesung
Elemente der angewandten Mathematik
R. Winkler / K. Blankenagel SS 2017
Aufgabe 1: Ein Sparer zahlt 10 Jahre lang immer am Anfang des Jahres 100 Euro auf ein Sparkonto ein. Die Bank verzinst das Guthaben stets am Ende des Jahres mit 2 % Zinsen.
Wie viel Geld ist am Ende des 10. Jahres auf dem Konto?
Benutzen Sie die geometrische Summenformel.
Aufgabe 2: Es soll die Polynomgleichung p(x) = 0 n¨aherungsweise mit dem Bisektions- verfahren gel¨ost werden. Es gelte p(2)<0 und p(4) >0.
Wie viele Schritte m¨ussen durchgef¨uhrt werden, um eine L¨osung in einem Intervall h¨ochstens der L¨ange 10−6 zu lokalisieren?
Aufgabe 3: Eine Leiter von 4 m L¨ange wird an eine senkrechte Wand gelehnt. Vor der Wand steht eine Kiste, die 1 m breit und 1 m hoch ist. Wie weit ist die Leiter von der Wand entfernt, wenn sie die Kiste ber¨uhrt?
Anmerkung: Es gibt zwei L¨osungen, die aber symmetrisch zueinander sind (flach bzw.
steil angelehnte Leiter).
a) Zeichnen Sie die Figur maßstabsgetreu (m¨oglichst genau, nicht zu klein) und be- stimmen Sie durch Messen einen N¨aherungswert f¨ur die gesuchte Entfernung.
b) Nimmt man die Entfernung der Stelle, an der die Leiter die Wand ber¨uhrt, zum Boden als Hilfsgr¨oße, dann kann man aus den geometrischen Bedingungen zwei Gleichungen ableiten. Stellen Sie damit eine Gleichung mit einer Unbekannten auf.
Hinweis: Sie sollten zu einer Polynomgleichung 4. Grades kommen.
c) Zeigen Sie, dass [1,2] ein geeignetes Startintervall f¨ur die Bisektion ist, und f¨uhren Sie drei Schritte mit dem Taschenrechner durch. Skizzieren Sie die dabei berechneten Funktionswerte in einem Diagramm.
d) F¨uhren Sie mit dem Startwert x0 = 1,5 einen Schritt des Newtonverfahrens aus.
Hausaufgabe 1: Berechnen Sie unter Verwendung der geometrischen Summenformel:
a)
A= 1 + 5 + 52+...+ 510 b)
B = 1 +1 5 + 1
52 +...+ 1 510
c) Auf einem Schachbrett sollen 1 Million Reisk¨orner verteilt werden. Wie viele Felder k¨onnte man damit f¨ullen, wenn auf das erste Feld genau 1 Korn, auf das zweite genau 2 K¨orner und auf jedes weitere Feld genau doppelt so viele K¨orner wie auf das Feld davor gelegt werden sollen?
Hausaufgabe 2: In eine Hohlkugel mit dem inneren Radius r = 10 cm werden 250 cm3 Wasser gegossen. Wie hoch steht das Wasser ¨uber dem tiefsten Punkt des Kugelinneren?
Verwenden Sie das Bisektionsverfahren, um die H¨ohe zu bestimmen. Stellen Sie dazu ein geeignetes Startintervall auf, und f¨uhren Sie drei Schritte durch. Geben Sie ein Intervall an, in dem die L¨osung liegt.
Hinweis: Die Formel f¨ur das Volumen eines Kugelsegments k¨onnen Sie ohne Begr¨undung einer Formelsammlung entnehmen.
