4. ¨Ubung zur Vorlesung
Elemente der angewandten Mathematik
R. Winkler / K. Blankenagel SS 2017
Aufgabe 1: Ein Problem der linearen Optimierung sei durch folgendes mathematische Modell gegeben:
30x+ 20y ≤ 240 x ≤ 5,6 y ≤ 5 35x+ 42y ≥ 147
x ≥ 0 y ≥ 0 Zielfunktion:
z(x, y) = 9x+ 3y a) Bestimmen Sie das Planungspolygon zeichnerisch.
b) Ermitteln Sie den Punkt P, in dem die Zielfunktion maximal wird, und den Punkt Q, in dem die Zielfunktion minimal wird, jeweils zeichnerisch und seine Koordinaten jeweils rechnerisch.
c) Wie groß ist der maximale bzw. minimale Wert der Zielfunktion?
Aufgabe 2: Gegeben seienp, q ∈IR und die Gleichungx2+px+q = (x−x1)·(x−x2) mit der freien Variablen x∈IR.
a) Finden Sie f¨urp=−1 undq =−6 geeignete x1 und x2.
b) Bestimmen Sie auch allgemein x1 und x2 in Abh¨angigkeit von p und q. ¨Uberpr¨ufen Sie, dass damit die obige Gleichung erf¨ullt ist.
Aufgabe 3:SeiABeine Strecke der L¨angea. Ein PunktSvonABteilt diese imgoldenen Schnitt, wenn sich die gr¨oßere Teilstrecke (Major, L¨ange M) zur kleineren (Minor, L¨ange m) verh¨alt, wie die Gesamtstrecke zum gr¨oßeren Teil.
S teilt also AB im goldenen Schnitt, wenn Ma = Mm gilt.
a) Der goldene Schnitt taucht in der Natur und der Kunst an vielen Stellen auf. Er gilt als besonders nat¨urliches oder harmonisches Maßverh¨altnis. Nennen Sie mehrere goldene Schnitte z.B. am menschlichen K¨orper.
b) Zeigen Sie, dassx= Mm der quadratischen Gleichung x2−x−1 = 0 gen¨ugt und bestimmen Sie dieses Teilungsverh¨altnis.
Hinweis: Benutzen Siea =M +m.
Hausaufgabe: Ein Unternehmen stelle ein Produkt her, von dem es gem¨aß abgeschlos- sener Liefervertr¨age mindestens 250 Mengeneinheiten (ME) produzieren muss. Zur Her- stellung kann es drei verschiedene Rohprodukte einkaufen, die unterschiedlich teuer sind und nur begrenzt zur Verf¨ugung stehen. Jede ME jedes Rohprodukts liefert eine ME des Endprodukts. F¨ur den Einkauf stehen insgesamt 5000 Geldeinheiten (GE) zur Verf¨ugung.
Jedes der Rohprodukte muss unterschiedlich lange nachbearbeitet werden. Dazu stehen in der Planungsperiode nur 1000 Zeiteinheiten (ZE) zur Verf¨ugung. Je nachdem, welches Rohprodukt bei der Herstellung einer ME des Endprodukts verwendet wird, entsteht f¨ur das Unternehmen ein unterschiedlicher Gewinn pro ME des Endprodukts.
Gesucht ist ein Einkaufsplan f¨ur die Rohprodukte, der dem Unternehmen maximalen Gewinn bringt.
R1 R2 R3
Einkaufspreis in GE 20 18 22 Bearbeitungszeit (ZE) 5 4 3 Gewinn (GE) 33 35 32 Verf¨ugbarkeit 120 100 80
Wieviel der Rohstoffe sollte das Unternehmen einkaufen?
Stellen Sie dazu ein lineares Optimierungsproblem auf. Beschreiben Sie die Unbekannten, die Restriktionen und die Zielfunktion.
Im Internet findet man Seiten, mit denen kleinere lineare Optimierungsaufgaben n¨ahe- rungsweise gel¨ost werden k¨onnen, beispielsweise unter
https://www.zweigmedia.com/RealWorld/simplex.html.
L¨osen Sie so ihr Optimierungsproblem. Wie hoch ist der Gewinn?
Bei welchen Beschr¨ankungen gibt es noch wie viel Reserven?
Was ¨andert sich, wenn zum Einkauf sogar 6000 GE/ nur 4000 GE zur Verf¨ugung stehen?
