8. ¨Ubung zur Vorlesung
Elemente der angewandten Mathematik
R. Winkler / K. Blankenagel SS 2017
Aufgabe 1:Bestimmen Sie mit Hilfe des Heron-Verfahrens einen N¨aherungswert f¨ur√ 15 beginnend mit x0 = 5.
a) Stellen Sie den ersten Schritt des Verfahrens graphisch dar, indem Sie Rechtecke mit dem Fl¨acheninhalt 15 cm2 mit den Seitenl¨angen x0 und x1 zeichnen. Erzeugen Sie dabei die ben¨otigten Seitenl¨angen des Rechtecks nach dem ersten Schritt per Konstruktion mit Zirkel und Lineal aus den schon vorhandenen Seitenl¨angen.
b) F¨uhren Sie drei (rechnerische) Schritte durch.
Aufgabe 2: Es soll ein Schnittpunkt von f(x) = 15x3 und g(x) =x2−3 n¨aherungsweise unter Verwendung des Newtonverfahrens bestimmt werden.
a) Erstellen Sie eine Skizze, und bestimmen Sie damit einen geeigneten Startwert.
b) F¨uhren Sie drei Schritte des Verfahrens mit Abstiegstest durch.
Aufgabe 3:Es soll n¨aherungsweise die Nullstellex∗ einer stetigen Funktion f bestimmt werden. Es sei ein Intervall [a, b] bekannt, so dass f(a) und f(b) verschiedene Vorzeichen haben.
Beim Sekantenverfahren wird die Nullstelle x∗ der Funktion durch die Nullstelle s der Sekante durch (a, f(a)) und (b, f(b)) angen¨ahert.
a) Es sei bekannt, dassf(2) =−1 und f(5) = 8 gilt. Bestimmen Sie die Sekante und deren Nullstelle.
b) Bestimmen Sie auch allgemein (in Abh¨angigkeit vona, b, f(a), f(b)) eine Funktions- gleichung der Sekante und deren Nullstelle s.
c) Leiten Sie
s= a|f(b)|+b|f(a)|
|f(a)|+|f(b)|
mithilfe des 2. Strahlensatzes her.
Hausaufgabe 1: Sei a ∈ IR+ und n ≥ 2 aus IN. Formulieren Sie das Newtonverfahren zur Berechnung von √n
a. Bestimmen Sie √3
15 mit einem Fehler <10−6.
Hausaufgabe 2: Auf einem Konto werden ¨uber einen Zeitraum von f¨unf Jahren jedes Jahr zum Jahresbeginn 100 Euro eingezahlt. Am Ende der Laufzeit von f¨unf Jahren sind 516,74 Euro auf dem Konto. Bestimmen Sie n¨aherungsweise die verwendete (durchschnitt- liche) j¨ahrliche Verzinsung.
Hinweis: Verwenden Sie z.B. mit Begr¨undung folgende Gleichung:
100x5+ 100x4+ 100x3+ 100x2+ 100x= 516,74
