UNIVERSITÄT DORTMUND
WIRTSCHAFTS- UND SOZIALWISSENSCHAFTLICHE FAKULTÄT
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Prüfungsfach: Mikroökonomie
Teilgebiet: Einführung in die Spieltheorie Prüfungstermin: 19.03.2003
Zugelassene Hilfsmittel: keine
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Prüfungskandidat/in
(Bitte in Druckbuchstaben ausfüllen!)
Name, Vorname:
...
...
Matrikel-Nr.:
...
...
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Aufgabe 1 2 3 4 Summe
bitte die drei zu bewertenden Aufgaben
ankreuzen maximal erreichbare Punktzahl
20 20 20 20
erreichte Punktzahl Note
Unterschrift des Prüfers
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Von der Prüfungsaufsicht auszufüllen
Unterbrechung der Prüfung:
von ___________ bis ____________ Uhr von __________ bis ___________ Uhr
von ___________ bis ____________ Uhr Ende der Prüfung _____________ Uhr
Aufgabe 1:
i) Erläutern Sie die Begriffe “dominante Strategie” und “dominierte Strategie” für einen Spieler i in einem Spiel G = (N, S, U).
ii) S enthalte nur endlich viele Strategien. Gibt es für einen Spieler immer eine
dominante Strategie? Gibt es für einen Spieler immer eine nicht dominierte Strategie?
(Begründung!)
iii) Besitzt folgendes Spiel für die Spieler 1 und 2 dominante bzw. dominierte Strategien?
Geben Sie sie an!
a b c
A 1, -1 0, - 2 -1, 1
B -1, 1 0, - 2 1, - 1
C - 2, 0 -2, - 2 -2, 0
Ist das Spiel folglich dominant lösbar bzw. nach iterierter Elimination dominierter Strategien lösbar? Gibt es ein Nash-GG (in reinen Strategien)? (Begründung!) Besteht ein logischer Zusammenhang zwischen Ihren Antworten?
Aufgabe 2:
Die Firma Coke erwägt ihren Markteintritt in Estland, das bisher nur vom Konkurrenten Pepsi mit Soft-Getränken versorgt wird. Tritt Coke in den Markt Estland ein, so entsteht ein
Nacheintrittsspiel, in dem Coke und Pepsi simultan ihre Strategien friedliche Anpassung (A) oder Preiskampt (T) wählen müssen.
Die extensive Form des gesamten Spieles ist wie folgt:
a) Wird Pepsi in den Markt eintreten? Analysieren Sie zur Beantwortung dieser Frage zunächst die zugehörige Normalform des Spieles und ermitteln Sie deren Nash- Gleichgewichte in reinen Strategien! (Hinweis: wieviel Strategien hat Coke, wieviele hat Pepsi?)
b) Analysieren Sie nun das Teispiel (nach Eintritt)! Welche Nash-Gleichgewichte besitzt dieses?
c) Erläutern Sie nun den Zusammenhang zwischen Gleichgewichten des Gesamtspieles und Gleichgewichten des Teilspieles! Wie sollte dieser sich in einem teilspielperfekten Gleichgewicht darstellen (Begründung!)?
d) Welche(s) Gleichgewicht(e) sind teilspielperfekt? Wird Coke in den Markt eintreten?
e) Das Teilspiel besitzt auch ein Gleichgewicht in gemischten Strategien. Können Sie – ohne es explizit zu berechnen – sagen, ob Coke darauf mit E oder O reagieren würde?
Aufgabe 3:
Doping-Tests von Athleten erfolgen meist zufällig; d.h. nicht alle Athleten werden getestet und die getestet werden, wissen dies nicht zuvor. Zeigen Sie an folgendem Beispiel, dass dies im “Spiel” Athleten gegen Tester im Gleichgewicht so sein muss!
i) Zwei Schwimmer A und B müssen in einer Qualifikation gegeneinander antreten, nur der Sieger kann an der Olympiade teilnehmen. Jeder von Ihnen hat zwei Strategien, er kann Doping vornehmen (D) oder nicht (N). Beide sind gleich gut; d.h. beide haben eine 50 : 50 Chance zu gewinnen, wenn beide dopen oder wenn beide nicht dopen.
Dopt nur einer, so gewint dieser auch. Ein Sieg bringe die Auszahlung 1, eine Niedelage –1. Wie lautet die Normalformel dieses Spieles? Was tun die Schwimmer im Gleichgewicht? Welche zusätzliche Eigenschaft hat dieses?
ii) Dem Internationalen Olympischen Komitee (IOC) gefällt obiges Gleichgewicht nicht, es beschließt Doping-Kontrollen. Aus Kostengründen soll aber nur ein Spieler getestet werden. Das IOC hat also zwei Strategien: A testen (A) oder B testen (B). Erwischt das IOC einen Doper, steigt seine Reputation (Auszahlung : 1), erwischt es keinen, so
bleibt sie unverändert (Auszahlung : 0). Ein erwischter Doper wird hart bestraft (Auszahlung: - 10); der Sieg geht in diesem Falle automatisch an den Gegner.
Wie lautet die 2 x 2 Auszahlungsmatrix für die drei Spieler (A, B, IOC), wenn das IOC A testet (in Abhängigkeit der Strategien von A und B)? Welches Gleichgewicht ergibt sich in diesem Fall? Welche Situation ergibt sich, wenn das IOC B testet?
Welche Eigenschaft haben die Gleichgewichte wiederum? Wird Doping verhindert?
iii) Nun greift das IOC zu einer gemischten Strategie; d.h. es testet A oder B jeweils mit Wahrscheinlichkeit ½. Welche Situation für die Schwimmer ergibt sich nun?
Zeigen Sie, dass beide Schwimmer eine dominante Strategie besitzen und dass die gemischte Strategie (½, ½) des IOC beste Antwort auf diese Strategien der
Schwimmer ist! Findet Doping statt?
Aufgabe 4:
i) Was ist für einen Spieler in einem Spiel G = (N, S, U) eine gemischte Strategie?
Was ist in der gemischten Erweiterung von G ein Gleichgewicht in gemischten Strategien?
ii) Erläutern und begründen Sie (ohne formalen Bweis) die Aussage des Fundamental- Lemmas!
Benutzen Sie dessen Aussage, um das Nash-Gleichgewicht folgenden Spieles zu berechnen!
1 \ 2 L R
O -1,3 6,2
M 5,0 -2,5
U 0,9 4,9
