UNIVERSITÄT DORTMUNDWIRTSCHAFTS- UND SOZIALWISSENSCHAFTLICHE FAKULTÄT

UNIVERSITÄT DORTMUND

WIRTSCHAFTS- UND SOZIALWISSENSCHAFTLICHE FAKULTÄT

______________________________________________________________

_____________

Prüfungsfach: Mikroökonomie

Teilgebiet: Einführung in die Spieltheorie Prüfungstermin: 27.02.2006

Zugelassene Hilfsmittel: Taschenrechner

______________________________________________________________

_____________

Prüfungskandidat/in

(Bitte in Druckbuchstaben ausfüllen!)

Name, Vorname:

...

...

Matrikel-Nr.:

...

...

______________________________________________________________

_____________

Aufgabe 1 2 3 4 Summe

bitte die drei zu bewertenden Aufga-ben

ankreuzen maximal erreichbare Punktzahl

20 20 20 20

erreichte Punktzahl Note

Unterschrift des Prüfers

______________________________________________________________

_____________

Von der Prüfungsaufsicht auszufüllen

Unterbrechung der Prüfung:

von ___________ bis ____________ Uhr von __________ bis ___________ Uhr

von ___________ bis ____________ Uhr Ende der Prüfung _____________ Uhr

Aufgabe 1: Spiele in Normalform

Zwei Spieler haben folgende Nutzenfunktionen

i i

i x t x t

u ( , )=α ⋅ + i = 1,2

wobei ti das Einkommen von i bezeichnet und xi ∈ {0,1} die Menge eines öffentlichen Gutes. Die Bereitstellungskosten für x = 1 betragen C > 0. Aufgrund der Wertschätzungen α1

und α 2 wäre es also effizient, x = 1 genau dann bereitzustellen, wenn α1 + α 2 ≥ C gilt.

Der Regierung sind die αi, i = 1, 2, nicht bekannt; sie unterwirft die beiden Spieler daher folgendem Spiel:

Jeder Spieler wird aufgefordert, eine Angabe über seine Wertschätzung α1 für das öffentliche Gut zu machen. Das Gut wird dann bereit gestellt, falls die angegebenen Werte α1 + α 2 ≥ C erfüllen, sonst nicht.

Außerdem erhält jeder Spieler – in jedem Falle – einen Transfer (falls negativ: Steuer) in Höhe von

ti (αi, αj) = (αi – C) ^. x + Ki , i = 1, 2, i ± j Ki ist eine Konstante.

a) Erläutern Sie zunächst das von der Regierung gewährte Verfahren und stellen Sie es als Spiel in Normalform (N, S, u) dar! Worauf hat die Entscheidung eines Spielers (direkt) Einfluss, worauf nicht? Was bezweckt die Regierung mit diesem Design?

b) Erläutern Sie die Begriffe (schwach) „dominierte Strategie“ und (schwach) „dominante Strategie“ ! Wie ist der Zusammenhang zwischen ihnen und inwiefern sind sie durch die

„common knowledge“-Annahme gestützt?

c) Zeigen Sie: Jede nicht der Wahrheit entsprechende Angabe αi , αi ≠ αi , i = 1, 2, ist für den betreffenden Spieler eine (schwach) dominierte Strategie! Zeiten Sie andererseits, dass

αi = αi , i = 1, 2, eine (schwach) dominante Strategie für i ist!

Aufgabe 2: Gemischte Strategien

Betrachten Sie das folgende Spiel, in dem sich ein Spieler jeweils anstrengen (a) oder nicht anstrengen (na) kann:

a na

a 0,0 0, - c

c > 0 na - c, 0 1 – c, 1 - c

a) Interpretieren Sie das durch dieses Spiel dargestellte interaktive

Entscheidungsproblem (und den Parameter c)! Geben Sie das/die Gleichgewicht(e) in reinen Strategien an! (Begründung!)

b) Was sind gemischte Strategien und warum dürften diese für die Analyse dieses Spieles relevant sein?

c) Ermitteln Sie (in Abhängigkeit von c) das Gleichgewicht in (vollständig) gemischten Strategien! Wie ändert sich das gleichgewichtige Verhalten der Spieler, wenn c größer wird? Erklären Sie diese Verhaltensänderungen!

d) Was sagt das sog. “Fundamental-Lemma” über Gleichgewichtsstrategien eines Spielers aus?

Aufgabe 3: Spiele mit unvollständiger Information

Betrachten Sie das aus der Vorlesung bekannte Spiel “Battle of the Sexes” (BoS) 2 a b

1

a 2,1 0,0

b 0,0 1,2

und folgende Variation davon

2 a b 1

a 2,0 0,2

b 0,1 1,0

a) Geben Sie zunächst eine Interpretation der von BoS dargestellten interaktiven Entscheidungssituation ! Wie ändert sich diese in der Variante? (Hinweis: Worin unterscheidet sich die Variante von BoS, worin nicht?

b) Nehmen Sie nun an, Spieler 1 wisse nicht, ob er sich in BoS oder der Variante befindet. Spieler 2 hingegen wisse dies.

i) Was bedeutet diese Informationsstruktur in Ihrer Interpretation aus a)?

Welches Problem hat Spieler 1 (und folglich Spieler 2)?

ii) Spieler 1 hält beide Situationen objektiverweise für gleich wahrscheinlich.

Wenden Sie die “Harsanyi-Transformation an und geben Sie die extensive Form dieses Spieles mit unvollständiger Information an! Was leistet diese Transformation?

c) Ermitteln Sie ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht des Spieles aus b ii) in reinen Strategien! Erläutern Sie den Begriff “Bayesianisches Nash-Gleichgewicht” und das Verhalten der Spieler im vorliegenden Spiel!

Aufgabe 4: Doppelte Auktion

Gegeben sei das Verhandlungsspiel zwischen Käufer und Verkäufer, in dem beide ein (verdecktes) Gebot abgeben, v und c, und Tausch zum Preis p = (v + c)/2 stattfindet, falls (und nur falls) v ≥ c.

V bezeichne den wahren Wert für den Käufer, wobei V gemäß der Verteilung M(V) auf [0, 1] verteilt sei. Der Käufer weiß V, der Verkäufer C; außerdem sind die Verteilungen M und N common knowledge.

a) Was ist – in diesem Spiel – ein Bayesianisches Gleichgewicht begrifflich?

b) Sei a ∈ (0,1) gegeben. Zeigen Sie, dass – für alle M und N (!) – die folgenden Strategien (α* , β*) ein Bayesianisches Nash-Gleichgewicht bilden:

α* (V) =

{

{

Erläutern Sie dieses Bietverhalten !