Seminar zur Komplexen Analysis – SS 2008

Seminar zur Komplexen Analysis – SS 2008

Thema: ¨ Uber eine Vermutung von Hartshorne Termin im SS: Donnerstag, 16 -18 Uhr

Inhalt:

1. q-konvexe Funktionen und q-konvexe Mannigfaltigkeiten Roitzsch (17.04.)

2. Koh¨ arente analytische Garben und Cohomologietheorie Fritzsche (24.04.)

3. Der Endlichkeitssatz von Andreotti/Grauert Fritzsche (08.05.)

4. Holomorphe Vektorb¨ undel Rottmann (29.05.)

5. Normalenb¨ undel, Divisoren und assoziierte Geradenb¨ undel Harz (05.06.)

6. Euler-Sequenz und projektive B¨ undel Sera (12.06.)

7. Fasermetriken und positive B¨ undel Roitzsch (19.06.)

8. Der Satz von Schneider f¨ ur Hyperfl¨ achen Roitzsch (26.06.)

9. Der σ-Prozess und das Aufblasen von Untermannigfaltigkeiten Sera (03.07.)

10. Der Satz von Schneider im allgemeinen Fall Sera (10.07.)

11. Ersatztermin (17.07.)

12. Literatur

q-konvexe Funktionen und q-konvexe Mannigfaltigkeiten (Roitzsch, 17.04.) Literatur: (A-4), evtl. auch (A-1), aber Vorsicht:

” q“ bei Leiterer ist

” n − q + 1“ bei uns.

” Differenzierbar“ soll hier immer

” beliebig oft differenzierbar“ heißen.

Definiere Leviform auf komplexen Mannigfaltigkeiten (unabh¨ angig von Koordinaten ϕ = (z ₁ , . . . , z _n ) ):

Sei X eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit, x ∈ X , ϕ eine Karte in x und f differenzierbar nahe x.

Lev x (f )(ξ) := X

ν,µ

∂ ² (f ◦ ϕ

)

∂z _ν ∂z _µ (ϕ(x))ξ ν ξ _µ , f¨ ur ξ = X

ν

ξ ν

∂

∂z _ν ∈ T x (X) .

Definition: f heißt q-konvex in x ∈ X , falls Lev _x (f ) auf T _x (X) h¨ ochstens q −1 Eigenwerte ≤ 0 hat (also mindestens n − q + 1 positive).

Die q-Konvexit¨ at ist eine offene Eigenschaft.

Ist Φ : X → Y eine holomorphe Abbildung, V ⊂ Y offen, f differenzierbar auf V , U := Φ

(V ) und x ∈ U . Dann gilt:

Lev x (f ◦ Φ)(ξ) = Lev _Φ(x) (f )(Φ

ξ). (wobei Φ

: T x (X) → T _Φ(x) (Y ) die induz. Abb.) Also ist die q-Konvexit¨ at invariant unter biholomorphen Abbildungen.

Satz: Sei Y ⊂ X eine komplexe Untermannigfaltigkeit, x 0 ∈ Y , U = U (x 0 ) ⊂ X offen und f : U → R q-konvex in x 0 . Dann ist auch f | Y

in x 0 q-konvex.

Satz: f ist genau dann auf X q-konvex, wenn es zu jedem x ₀ ∈ X eine offene Umgebung U = U (x ₀ ) ⊂ X und eine (n − q + 1)-dimensionale Untermannigfaltigkeit Y ⊂ U mit x ₀ ∈ Y gibt, so dass f | Y streng plurisubharmonisch ist.

Folgerung: Ist f auf der n-dimensionalen Mannigfaltigkeit X n-konvex, so kann f kein lokales Maximum besitzen.

Definition: Eine komplexe Mannigfaltigkeit X heißt q-konvex, wenn es eine stetige Funktion ϕ : X → R und eine kompakte Menge K ⊂ X gibt, so dass ϕ| _X\K q-konvex ist und

X c (f) := {x ∈ X : ϕ(x) < c} ⊂⊂ X f¨ ur alle c ∈ R gilt. X heißt q-vollst¨ andig, wenn K = ∅ bei passendem ϕ gew¨ ahlt werden kann.

Definition: H x (ϕ) := {ξ ∈ T x (X) : (∂ϕ) x (ξ) = 0}.

Definition: Sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit. Eine offene Teilmenge B ⊂⊂ X hat einen q-konvexen Rand, wenn es zu jedem Punkt x ₀ ∈ ∂B eine Umgebung U = U (x ₀ ) ⊂ X und eine in U differenzierbare Funktion ψ gibt, so dass gilt:

1. B ∩ U = {x ∈ U : ψ(x) < 0} und (∂f ) _x

6= 0.

2. Lev _x

(f ) hat auf H _x

(f ) mindestens n − q positive Eigenwerte.

Satz: Sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit. Eine offene Teilmenge B ⊂⊂ X hat genau dann einen q-konvexen Rand, wenn es zu jedem Punkt x 0 ∈ ∂B eine Umgebung U = U (x 0 ) ⊂ X und eine in U q-konvexe Funktion f gibt, so dass B ∩ U = {x ∈ U : f (x) < 0} und (∂f ) x

6= 0 ist.

Beweis: (analog zum Fall der Levi-Konvexit¨ at, siehe Vorlesung). Nach Voraussetzung existiert eine Umgebung U = U (x 0 ), eine differenzierbare Funktion f auf U und ein (n − q)-dimensionaler Unterraum E ⊂ H x

(f ), so dass Lev x

(f ) auf E positiv definit ist. Außerdem kann man annehmen, dass f (x 0 ) = 0 und (∂f ) x

6= 0 ist. Es gibt also einen 1-dimensionalen Unterraum F ⊂ T x

(X ), so dass H x

(f ) ⊕ F = T x

(X) ist. Sei K := {v ∈ E ⊕ F : kvk = 1} und K 0 := {v ∈ K : Lev x

f (v) ≤ 0}. Dann gibt es eine reelle Konstante C und eine positive Konstante ε, so dass Lev _x

f ≥ C auf K und |(∂f ) _x

| ² ≥ ε auf K ₀ gilt. Man w¨ ahle ein k > 0, so dass k · ε + C > 0 ist und setze g _k := f · exp(kf). Dann ist

Lev _x

g _k (v, v) = Lev _x

f (v, v) + 2k|(∂f ) _x

(v)| ² ,

also Lev _x

g _k > 0 auf K ₀ (und erst recht auf K \ K ₀ ). Damit ist g _k in x ₀ (und damit in einer Umgebung) q-konvex. Die Umkehrung ist einfach.

Lemma: Sei B ⊂ C ⁿ offen, z ₀ ∈ ∂B. Außerdem seien ϕ, ψ differenzierbare Funktionen auf einer offenen Umgebung U = U (z 0 ) mit {z ∈ U : ϕ(z) < 0} = {z ∈ U : ψ(z) < 0} = B ∩ U . Ist (∂ϕ)

6= 0 und ψ q-konvex in z 0 , so hat Lev

(ϕ) auf H

(ϕ) h¨ ochstens q − 1 Eigenwerte ≤ 0.

Beweis: (A-4), Lemma I.4.9.

Satz: Sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit, B ⊂⊂ X eine offene Teilmenge mit q-konvexem Rand.

Dann gibt es eine offene Umgebung U = U (∂B) und eine q-konvexe Funktion f : U → R , so dass B ∩ U = {x ∈ U : f (x) < 0} ist.

Beweis: Man kann eine offene ¨ Uberdeckung (U i ) i∈I von ∂B und q-konvexe Funktionen f i : U i → R finden, so dass gilt:

U _i ∩ B = {x ∈ U _i : f _i (x) < 0} und (∂f _i ) _x 6= 0 f¨ ur x ∈ U _i ∩ ∂B.

Sei (% _i ) eine Teilung der Eins zur ¨ Uberdeckung (U _i ), U ⊂ X eine offene Umgebung von ∂B mit U ⊂ S

i U _i und f := P

i % _i f _i auf U. Ist x ∈ B , so ist f _i (x) < 0 f¨ ur alle i, und deshalb auch f(x) < 0. Sei umgekehrt f (x) < 0. W¨ are x 6∈ B, so w¨ are f _i (x) ≥ 0 f¨ ur alle i und damit auch f (x) ≥ 0. Also ist

{x ∈ U : f (x) < 0} = U ∩ B.

Sei nun x 0 ∈ ∂B ein fester Punkt, x 0 ∈ U i f¨ ur i ∈ I 0 = {i 1 , . . . , i r } und x 0 6∈ U i (und damit % i (x 0 ) = 0) f¨ ur i ∈ I \ I 0 . Es gibt dann zu jedem i ∈ I 0 eine positive Funktion h i auf einer Umgebung von x 0 in U i ∩ U i

mit f i = h i f i

. Dann ist

(∂f) x

= X

i∈I

% i (x 0 )(∂f i ) x

= X

i∈I

% i (x 0 )h i (x 0 )

· (∂f i

) x

.

Da % i (x 0 ) > 0 f¨ ur wenigstens ein i ∈ I 0 ist, ist (∂f) x

6= 0. Nach dem Lemma hat dann Lev x

f auf H x

(f ) mindestens n − q positive Eigenwerte.

Wie im Beweis zum vorigen Satz bilde man die Funktion f _k := f e ^k f . Es gibt ein k ₀ , so dass f _k f¨ ur k ≥ k ₀

in x ₀ (und damit auf einer offenen Umgebung von x ₀ ) q-konvex ist. Da ∂B kompakt ist, kann man ein k

finden, so dass f _k auf einer kompletten Umgebung von ∂B q-konvex ist.

Koh¨ arente analytische Garben und Cohomologietheorie (Fritzsche, 24.04.) Literatur: (B-2), (B-4), (B-5).

Eine analytische Garbe auf einer Mannigfaltigkeit X ist eine O X -Modulgarbe auf X . Definition: Sei F eine analytische Garbe ¨ uber X.

1. F heißt endlich erzeugt, falls es zu jedem Punkt x ₀ ∈ X eine offene Umgebung U = U (x ₀ ) ⊂ X und Schnitte s 1 , . . . , s q ∈ Γ(U, F ) gibt, die (bzw. deren Keime) in jedem Punkt x ∈ U den Modul F x uber ¨ O x erzeugen.

2. F heißt relationsendlich, falls gilt: Ist U ⊂ X offen und ϕ : O ^q | U → F | U ein surjektiver Garben- homomorphismus, so ist die Garbe Ker(ϕ) endlich erzeugt.

3. F heißt koh¨ arent, falls F endlich erzeugt und relationsendlich ist.

Beispiele:

1) Die

” Strukturgarbe“ O X ist koh¨ arent. Das folgt aus dem keineswegs trivialen Koh¨ arenzsatz von Oka.

2) Eine analytische Garbe F ist genau dann koh¨ arent, wenn es zu jedem x ∈ X eine offene Umgebung U = U (x) und eine exakte Garbensequenz O ^p | U → O ^q | U → F | U → 0 gibt.

3) Ist A ⊂ X analytisch und I = I (A) die Idealgarbe von A (bestehend aus den Keimen von holomor- phen Funktionen, die auf A verschwinden), so ist I koh¨ arent (Koh¨ arenzsatz von Cartan).

4) (Serre’sches F¨ unferlemma): Ist F 1 → F 2 → F 3 → F 4 → F 5 eine exakte Seuenz von analytischen Garben und sind die vier ¨ außeren Garben koh¨ arent, so ist auch die Garbe in der Mitte koh¨ arent.

5) Die Nullgarbe ist koh¨ arent.

6) Eine Garbe F heißt lokal-frei, wenn es zu jedem Punkt x ∈ X eine offene Umgebung U = U (x 0 ⊂ X und einen Garbenisomorphismus O ^q | U = F | U gibt. Offensichtlich ist F dann auch koh¨ arent.

Einer koh¨ arenten analytischen Garbe kann man ein geometrisches Objekt zuordnen. Ist F eine solche Garbe ¨ uber X, U ⊂ X offen und

O ^p | U

−→ ϕ O ^q | U

−→ ψ F | U −→ 0

eine exakte Sequenz, so kann man ϕ durch eine Matrix (ϕ νµ ) von holomorphen Funktionen ϕ νµ : U → C beschreiben. Man setzt dann

L( F )| U := {(x, w) ∈ U × C ^q :

q

X

ν=1

ϕ _νµ (x)w _ν = 0 f¨ ur µ = 1, . . . , p}.

Das ist eine analytische Teilmenge von U × C ^q , die ¨ uber U in lineare R¨ aume gefasert ist. Man kann solche lokalen Modelle zu einem globalen Raum verkleben, dem sogenannten

” linearen Faserraum“ zu F . Ist F lokal-frei, so haben alle Fasern die gleiche Dimension und man erh¨ alt ein

” Vektorb¨ undel“ (vgl. Vortrag 4). Im allgemeinen kann die Faserdimension aber springen.

Beispiel: Sei I die Idealgarbe des Nullpunktes im C ² . Dann wird I durch die Koordinatenfunktionen z ₁ , z ₂ erzeugt, und man hat eine exakte Sequenz O −→ ^ϕ O ² −→ ^ψ I −→ 0 mit ϕ(1) := (z ₂ , −z ₁ )

und ψ(e _λ ) := z _λ . Dann ist L( I ) = { (z ₁ , z ₂ ), (w ₁ , w ₂ )

∈ C ² × C ² : z ₂ w ₁ − z ₁ w ₂ = 0}. Die Faser ¨ uber dem Nullpunkt ist der C ² . ¨ Uber einem Punkt z = (z 1 , z 2 ) 6= (0, 0) liegt dagegen der 1-dimensionale Raum L

( I ) = {(w, (z 2 /z 1 )w) : w ∈ C }.

Definition: Sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit, F eine Garbe von (abelschen) Gruppen ¨ uber X und U = (U i ) _i∈I eine offene ¨ Uberdeckung von X . Eine q-dimensionale Cokette ξ uber ¨ U mit Werten in F ist ein System von Schnitten ξ(i 0 , . . . , i q ) ∈ Γ(U i

...i

, F ), das alternierend in den Indizes ist. ¹ Die Gruppe alle q-Coketten bezeichnet man mit C ^q ( U , F ).

1

U

:= U

∩ . . . ∩ U

.

Der Homomorphismus δ : C ^q ( U , F ) → C ^q+1 ( U , F ) mit (δξ)(ı 0 , . . . , i q+1 ) :=

q+1

X

λ=0

(−1) ^λ+1 ξ(i 0 , . . . , i b λ , . . . , i q+1 )| U

heißt Corandoperator. Im Falle q = 1 ist z.B. (δξ)(i ₀ i ₁ i ₂ ) = −ξ(i ₁ i ₂ ) + ξ(i ₀ i ₂ ) − ξ(i ₀ i ₁ ) (eingeschr¨ ankt auf U _i

_i

_i

), und allgemein δ ◦ δ = 0.

Die Elemente von Z ^q ( U , F ) = {ξ ∈ C ^q ( U , F ) : δξ = 0} nennt man Cozyklen, die Elemente von B ^q ( U , F ) := {ξ ∈ C ^q ( U , F ) : ∃ η ∈ C ^q−1 ( U , F ) mit δη = ξ} Cor¨ ander. Es ist speziell Z ⁰ ( U , F ) = {(ξ i ) : ξ i | U

= ξ j | U

} ∼ = Γ(X, F ), und man setzt B ⁰ ( U , F ) := 0.

Offensichtlich ist B ^q ( U , F ) ⊂ Z ^q ( U , F ), und man nennt H ^q ( U , F ) := Z ^q ( U , F )/B ^q ( U , F ) die q-te Cohomologiegruppe von F ¨ uber U . Offensichtlich ist H ⁰ ( U , F ) = Γ(X, F ).

Geh¨ ort X selbst zur ¨ Uberdeckung, so ist H ^q ( U , F ) = 0 f¨ ur q ≥ 1. Geht man von einer ¨ Uberdeckung U zu einer Verfeinerung V ¨ uber, so erh¨ alt man f¨ ur jedes q ≥ 1 einen Homomorphismus τ

^q _,

: H ^q ( U , F ) → H ^q ( V , F ), der im Falle q = 1 sogar injektiv ist.

Definition: Eine komplexe Mannigfaltigkeit X heißt holomorph ausbreitbar, wenn es zu jedem Punkt x ₀ ∈ X endlich viele holomorphe Funktionen f ₁ , . . . , f _r auf X gibt, so dass x ₀ isoliert in N (f ₁ , . . . , f _r ) liegt. X heißt holomorph konvex, falls es zu jeder unendlichen diskreten Teilmenge D ⊂ X eine holomorphe Funktion f auf X mit sup _D |f | = +∞ ist. X heißt Steinsch, falls X holomorph ausbreitbar und holomorph konvex ist.

Die L¨ osung des Leviproblems auf Mannigfaltigkeiten ergibt: X ist genau dann Steinsch, wenn X 1- vollst¨ andig ist (wenn es also eine streng plurisubharmonische Aussch¨ opfungsfunktion auf X gibt). Jedes Holomorphiegebiet im C ⁿ ist Steinsch.

Eine offene ¨ Uberdeckung U = (U i ) _i∈I von X heißt Steinsch, falls jedes ¨ Uberdeckungselement U i und alle Durchschnitte U i

...i

Steinsch ist. Man ¨ uberlegt sich leicht, dass es immer Steinsche ¨ Uberdeckungen gibt.

Sind U und V Steinsche ¨ Uberdeckungen und ist V eine Verfeinerung von U , so besagt der Satz von Leray, dass die Homomorphismen τ

^q _,

Isomorphismen sind. In diesem Falle schreibt man H ^q (X, F ) :=

H ^q ( U , F ).

Satz: Sei X eine Steinsche Mannigfaltigkeit und F eine koh¨ arente analytische Garbe auf X .

1. (Theorem A): Zu jedem Punkt x ₀ ∈ X gibt es endlich viele Schnitte s ₁ , . . . , s _k ∈ Γ(X, F ), die F x

als O x

-Modul erzeugen.

2. (Theorem B): Es ist H ^q (X, F ) = 0 f¨ ur alle q ≥ 1.

Es gilt noch mehr: Ist H ^q (X, F ) = 0 f¨ ur jede koh¨ arente analytische Garbe F ¨ uber X und alle q ≥ 1, so ist X Steinsch. Dabei reicht es sogar, das Verschwinden von H ¹ (X, I ) f¨ ur jede koh¨ arente Idealgarbe zu fordern.

Zum Schluss soll noch das folgende wichtige Ergebnis erw¨ ahnt werden:

Satz von der Cohomologiesequenz: Sei 0 → F → G → H → 0 eine (kurze) exakte Seuenz von koh¨ arenten analytischen Garben auf X . Dann ist auch die folgende (lange) Cohomologiesequenz exakt:

0 → Γ(X, F ) → Γ(X, G ) → Γ(X, H ) → ^∂ H ¹ (X, F ) → . . .

. . . H ^q−1 (X, H ) → ^∂ H ^q (X, F ) → H ^q (X, G ) → H ^q (X, H ) → ^∂ H ^q+1 (X, F ) → . . .

Die Homomorphismen zwischen Cohomologiegruppen gleicher Dimension werden auf nat¨ urliche Weise von den Garbenhomomorphismen induziert. Die

” Verbindungshomomorphismen“ ∂ : H ^q−1 (X, H ) →

H ^q (X, F ) findet man durch Diagrammjagd bei den Cohomologiegruppen zu (Steinschen) ¨ Uberdeckungen.

Der Endlichkeitssatz von Andreotti/Grauert (Fritzsche, 05.06.) Literatur: (C-1), (A-3), (B-3), (B-7), (C-3), (C-7)

Definition: Ein Fr´ echetraum ist ein C -Vektorraum mit einer Folge von Halbnormen (p _i ), so dass gilt:

1. Zu jedem f 6= 0 in E gibt es ein i mit p _i (f ) > 0.

2. Jede Cauchyfolge in E konvergiert.

Ein Fr´ echetraum ist ein vollst¨ andiger Hausdorff’scher lokal-konvexer topologischer Vektorraum. Er ist genau dann endlich-dimensional, wenn er eine kompakte Nullumgebung enth¨ alt.

Ein Beispiel ist der Raum E := O (X ), mit den Halbnormen p i (f ) := sup _K

|f |, wobei (K i ) eine kompakte Aussch¨ opfung von X ist.

Definition: Eine stetige lineare Abbildung f : E → F zwischen Fr´ echetr¨ aumen heißt kompakt, falls es eine Umgebung U = U(0) ⊂ E gibt, so dass f (U ) relativ-kompakt in F liegt.

Beispiel: Sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit und B ⊂⊂ X offen. Dann ist die Einschr¨ ankungsabbil- dung r : O (X ) → O (B) mit r(f ) := f | B kompakt.

Satz von Laurent Schwartz: Gegeben seien zwei stetige lineare Abbildungen u, v : E → F zwischen Fr´ echetr¨ aumen. Ist u kompakt und v surjektiv, so ist (u + v)(E) ein abgeschlossener Unterraum von F und dim

F/(u + v)(E) < ∞.

Sei X eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit und F eine koh¨ arente analytische Garbe auf X . Außer- dem seien U = (U i ) _i∈I und U c = ( U b i ) _i∈I zwei endliche Steinsche ¨ Uberdeckungen von X mit U i ⊂⊂ U b i . Dann sind die R¨ aume C ⁰ ( U , F ), Z ¹ ( U , F ) und Z ¹ ( U c , F ) Fr´ echetr¨ aume. Man hat lineare Abbildungen u, v : Z ¹ ( U c , F ) ⊕ C ⁰ ( U , F ) → Z ¹ ( U , F ) mit u(ξ, η) := −ξ|

und v(ξ, η) := ξ|

+ δη. Dann ist u kompakt und v surjektiv. Außerdem ist u + v = δ : C ⁰ ( U , F ) → Z ¹ ( U , F ) Mit dem Satz von Schwartz folgt nun, dass dim

H ¹ (X, F ) < ∞ ist.

Theorem (Andreotti/Grauert): Sei X eine q-konvexe komplexe Mannigfaltigkeit und F eine koh¨ aren- te analytische Garbe auf X. Dann ist dim

H ⁱ (X, F ) < ∞ f¨ ur i ≥ q. Ist X sogar q-vollst¨ andig, so ist H ⁱ (X, F ) = 0 f¨ ur i ≥ q.

Im Falle q = 1 erh¨ alt man wieder Theorem B.

Es folgen einige Bemerkungen zum Beweis des Satzes.

Zun¨ achst wird die lokale Situation betrachtet. Sei G ⊂ R ^m × C ⁿ ein Gebiet und π : G → R ^m die kanonische Projektion. Es sei stets G t := π

(t) leer oder ein Holomorphiegebiet. Man spricht von einer regul¨ aren Familie von Holomorphiegebieten, falls es ein Holomorphiegebiet D ⊂ C ⁿ gibt, so dass gilt:

1. π

π(G) ⊂ π(G) × D.

2. F¨ ur alle t ∈ π(G) ist (G t , D) ein Runge’sches Paar ² mit G t ⊂⊂ D.

Ist nun G ⊂ C ⁿ ein Gebiet, ϕ eine q-konvexe Funktion auf G, z 0 ∈ G und G 0 := {z ∈ G : ϕ(z) <

ϕ(z ₀ )} ⊂⊂ G. Nach Anwendung einer Drehung kann man Polyzylinder Q = Q(z ₀ ) ⊂ P ⊂ G finden, so dass π : Q ∩ G ₀ → R ^2(q−1) mit π(z ₁ , . . . , z _n ) := (z ₁ , . . . , z _q−1 ) eine regul¨ are Familie von Holomorphiege- bieten ergibt.

π(G) ⊂ R ^m π

G 0

Q ⊂ R ^m × C ^n−q+1

2

G

⊂ G heißt ein Runge’sches Paar, falls das Bild der Restriktionsabbildung O (G) → O (G

) dicht ist.

Indem man Dolbeault-Theorie mit Parametern betreibt und das Verschwinden von Cohomologiegruppen auf Holomorphiegebieten ausnutzt, erh¨ alt man unter den obigen Bedingungen:

Sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit, B ⊂⊂ X ein Gebiet mit q-konvexem Rand, x ₀ ∈ ∂B und U = U (x ₀ ) ⊂ X eine offene Umgebung und ϕ : U → R eine q-konvexe Funktion mit U ∩ B = {x ∈ U : ϕ(x) <

0}. Dann gibt es beliebig kleine Steinsche Umgebungen Q = Q(x ₀ ) ⊂ U, so dass H ^j (B ∩ Q, F ) = 0 f¨ ur j ≥ q ist und die Elemente aus Z ^q−1 (B ∩ Q, F ) beliebig gut durch Elemente aus Z ^q−1 (Q, F ) approximiert werden k¨ onnen.

Sei nun X q-konvex (verm¨ oge einer Aussch¨ opfung ϕ), B c := {x ∈ X : ϕ(x) < c}. Mit Hilfe von sogenannten

” Mayer-Vietoris-Sequenzen“, den lokalen Aussagen und der Grauert’schen Beulenmethode zeigt man: Zu jedem c ∈ R gibt es ein ε > 0, so dass H ^j (X c+ε , F ) → H ^j (X c , F ) f¨ ur j ≥ q surjektiv ist.

Mit Hilfe des Satzes von L. Schwartz zeigt man weiter, dass dim

H ^j (B c , F ) < ∞ f¨ ur j ≥ q gilt. Und schließlich beweist man, dass die Einschr¨ ankungsabbildung H ^j (X, F ) → H ^j (B c , F ) f¨ ur j ≥ q surjektiv ist (weil X die Vereinigung aller B c ist).

Mit Dichtheitsaussagen, etwas Funktionalanalysis und verfeinerten Techniken erh¨ alt man, dass die als surjektiv erkannten Abbildungen sogar Isomorphismen sind. Das ergibt die Endlichkeit der Cohomologie.

Ist X sogar q-vollst¨ andig, so kann man mit B _c = ∅ beginnen und erh¨ alt sogar das Verschwinden der Cohomologie.

Definition: Eine komplexe Mannigfaltigkeit X heißt cohomologisch q-vollst¨ andig, falls H ⁱ (X, F ) = 0 f¨ ur jede koh¨ arente analytische Garbe F auf X und jedes i ≥ q ist. Unter der cohomologischen Dimension cd(X) versteht man die gr¨ oßte nat¨ urliche Zahl q, so dass eine koh¨ arente analytische Garbe F auf X mit H ^q (X, F ) 6= 0 existiert.

Genau dann ist cd(X) = 0, wenn X Steinsch ist. Und man kann zeigen, dass cd(X) ≤ n − 1 f¨ ur jede nicht-kompakte zusammenh¨ angende Mannigfaltigkeit X gilt. Aus dem Satz von Andreotti-Grauert folgt:

Ist X q-vollst¨ andig, so ist X auch cohomologisch vollst¨ andig (und deshalb cd(X ) ≤ q − 1).

Offenes Problem: Gilt die Umkehrung (cd(X) ≤ q − 1 = ⇒ X q-vollst¨ andig)??

1970 untersuchte W. Barth die Komplemente von Untermannigfaltigkeiten Y im komplex-projektiven Raum P ⁿ . Er zeigte, dass f (x) := − dist ² (x, Y ) eine Aussch¨ opfungsfunktion auf P ⁿ \ Y ist, deren Levi- form auf H _x (f ) immer n − q positive Eigenwerte (mit q := codim(Y, X)) besitzt, zumindest dort, wo f differenzierbar ist. Also ist P ⁿ \ Y q-konvex und dim

H ^j ( P ⁿ \ Y, F ) < ∞ f¨ ur j ≥ q. Zugleich kann man an Beispielen sehen, dass die Cohomologie nicht unbedingt f¨ ur j ≥ q verschwindet.

Offenes Problem: Was ist der (geometrische oder analytische) Grund daf¨ ur, dass eine Mannigfaltigkeit q-konvex, aber nicht q-vollst¨ andig ist.

Komplemente von Untermannigfaltigkeiten im projektiven Raum sind das analytische ¨ Aquivalent zum Begriff der quasiprojektiven Variet¨ at in der Algebraischen Geometrie. Nimmt man eine Hyperfl¨ ache her- aus, so bekommt man eine Steinsche Mannigfaltigkeit, die durch das Verschwinden der Cohomologie charakterisiert werden kann. In der Algebraischen Geometrie entspricht dem eine affine Variet¨ at, die ebenfalls durch das Verschwinden der entsprechenden (algebraischen) Cohomologie charakterisiert wird.

Offenes Problem: Gibt es ein algebraisches ¨ Aquivalent zur q-konvexen oder q-vollst¨ andigen Mannig-

faltigkeit. Zumindest bei der q-Vollst¨ andigkeit w¨ urde sich ein Cohomologie-Kriterium anbieten (das aber

leider im analytischen Fall nicht zur Verf¨ ugung steht). Da die Cohomologiegruppen in der Algebraischen

Geometrie automatisch endlich-dimensional sind, hat man bei der q-Konvexit¨ at schlechte Karten. Die

folgenden Vortr¨ age werden aber Denkanst¨ oße geben.

Holomorphe Vektorb¨ undel (Rottmann, 29.05.)

Literatur: (A-3), (A-5), (B-8). Vektoren werden als Spaltenvektoren aufgefasst!

Definition: Sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit. Ein komplexes Vektorb¨ undel vom Rang q ¨ uber X ist gegeben durch eine komplexe Mannigfaltigkeit E und eine holomorphe Abbildung π : E → X , zusammen mit einer offenen ¨ Uberdeckung (U _i ) von X und biholomorphen Abbildungen ϕ _i : E| _U

= π

(U _i ) → U _i × C ^q (sogenannten lokalen Trivialisierungen oder Vektorb¨ undelkarten) mit pr ₂ ◦ ϕ _i = π, so dass gilt:

Zu jedem Paar (i, k) gibt es eine holomorphe Abbildung g ik : U i ∩ U k → GL q ( C ) (eine sogenannte Ubergangsfunktion) mit ¨

ϕ i ◦ ϕ

_k (x, v) = (x, g ik (x)

v).

Es ist dann g ik (x)

g kl (x) = g il (x) f¨ ur alle x ∈ U i ∩ U k ∩ U l , und g ik (x)

= g ki (x).

Ist q = 1, so spricht man auch von einem Geradenb¨ undel. Die ¨ Ubergangsfunktionen sind dann nirgends verschwindende holomorphe Funktionen.

Mit Hilfe der ¨ Ubergangsfunktionen kann man lokale Modelle U i × C ^q zu einem Vektorb¨ undel zusam- menkleben. Deshalb kann man die Konstruktion neuer B¨ undel aus bereits vorhandenen gut mit Hilfe der ¨ Ubergangsfunktionen beschreiben. Die B¨ undel sind dann jeweils nur bis auf Isomorphie festgelegt.

Speziell ist H ¹ (X, O

) die Menge aller Isomorphieklassen von komplxen Geradenb¨ undeln auf X.

1. Direkte Summe E 1 ⊕ E 2 = {(v, w) ∈ E 1 × E 2 : π 1 (v) = π 2 (w)} mit G ik := g _ik ⁽¹⁾ 0 0 g _ik ⁽²⁾

! . 2. Duales B¨ undel E

= S

x∈X Hom

(E _x , C ) mit g

_ik := g _ki

Es werden Vektorb¨ undel-Homomorphismen und -Isomorphismen definiert.

Definition: Sei π : E → X ein komplexes Vektorb¨ undel, U ⊂ X offen. Ein holomorpher Schnitt ¨ uber U in E ist eine holomorphe Abbildung s : U → E mit π ◦ s = id U . Die Menge aller solcher Schnitte bildet den Vektorraum Γ(U, E).

Jeder Schnitt s ∈ Γ(U, E) bestimmt ein System von Funktionen s i : U i ∩U → C ^q mit ϕ i ◦s(x) = (x, s i (x)).

Es gilt die ¨ Ubergangsbedingung s i (x) = g ik (x)

s k (x) ¨ uber U i ∩ U k ∩ U .

Man kann die Garbe O (E) der Keime von holomorphen Schnitten in E bilden. Sie ist lokal-frei, also eine koh¨ arente analytische Garbe.

Definition: Sei π : E → X ein Vektorb¨ undel vom Rang q. Eine Teilmenge F ⊂ E heißt Unterb¨ undel (vom Rang p), falls es zu jedem x ∈ X eine Umgebung U = U (x), einen p-dimensionalen Untervektorraum V ⊂ C ^q , und eine Trivialisierung ϕ : E| _U → U × C ^q gibt, so dass ϕ

(U × V ) = F ∩ π

(U) ist.

Man kann dann auch das Quotientenb¨ undel E/F bilden, mit (E/F ) _x = E _x /F _x . Beweis!

Ist f : X → Y eine holomorphe Abbildung und π : E → Y ein komplexes Vektorb¨ undel, so kann man das zur¨ uckgeliftete B¨ undel f

E auf X bilden (

” Pullback“):

f

E := {(x, v) ∈ X × E : f (x) = π(v)}.

Es sollen auch dazu ¨ Ubergangsfunktionen gefunden werden.

Beispiele:

1. Triviales B¨ undel: X × C

2. Tangentialb¨ undel T (X) (Details siehe (A-3), Example auf Seite 176). Die globalen Schnitte in T (X ) sind die holomorphen Vektorfelder auf X.

3. Kanonisches B¨ undel: K X (Details siehe (A-3), Example auf Seite 173/174). Die globalen Schnitte im kanonischen B¨ undel sind die globalen holomorphen n-Formen auf X .

4. Das tautologische B¨ undel (oder

” Hopf-B¨ undel“) auf dem P ⁿ :

O (−1) := {([z], w) ∈ P ⁿ × C ⁿ⁺¹ : w ∈ C z},

wobei [z] = (z ₀ : . . . : z _n ) das Bild von z = (z ₀ , . . . , z _n ) unter der kanonischen Projektion C ⁿ⁺¹ \ {0} → P ⁿ

bezeichnet. Man beachte, dass hier die Bezeichnung nicht zwischen dem B¨ undel und der zugeord- neten Garbe der holomorphen Schnitte unterscheidet. Lokale Trivialisierungen gewinnt man so:

Sei U i := {(z 0 : . . . : z n ) : z i 6= 0} und ϕ i : O (−1)| U

→ U i × C definiert durch ϕ i (x, w) := (x, w i ).

Dann ist

ϕ i ◦ ϕ

_k ([z], c) = ϕ i

[z], c

z k

· z

= [z], z i

z k

c , also g ik = z i /z k .

O (−1) ist ein Unterb¨ undel des trivialen B¨ undels P ⁿ × C ⁿ⁺¹ . Deshalb besitzt O (−1) außer dem Nullschnitt keine weiteren globalen holomorphen Schnitte.

Satz: Sei X eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit und π : E → X ein komplexes Vektorb¨ undel. Dann ist dim

Γ(X, E) < ∞.

Beweis: (A-2) Field 2, Theorem 5.9.1.

Normalenb¨ undel, Divisoren und assoziierte Geradenb¨ undel (Harz, 05.06.) Literatur: (A-3), (A-5) und (A-7).

Satz: ei X eine komplexe Mannigfaltigkeit und Y ⊂ X eine Untermannigfaltigkeit. Dann ist T (Y ) ein Unterb¨ undel von T (X)| _Y := i

T (X ) (wobei i : Y → X die Inklusionsabbildung bezeichnet).

Bezeichnungen: siehe voriger Vortrag, Beweis: siehe (A-3), Example auf Seite 181.

Definition: Das Quotientenb¨ undel N X (Y ) := i

T (X)/T (Y ) nennt man das Normalenb¨ undel von Y in X .

Unter einem Divisor wird hier immer eine zusammenh¨ angende 1-codimensionale Untermannigfaltigkeit verstanden, also eine glatte Hyperfl¨ ache.

Sei Y ⊂ X ein Divisor. Es gibt eine offene ¨ Uberdeckung (U i ) von X und holomorphe Funktionen f i

auf U i , so dass Y ∩ U i = {x ∈ U i : f i (x) = 0} ist. Man kann f i = 1 setzen, wenn U i ∩ Y = ∅ ist.

Durch g ik := f i /f k werden nirgends verschwindende holomorphe Funktionen auf U i ∩ U k definiert, die als Ubergangsfunktionen eines Geradenb¨ ¨ undels aufgefasst werden k¨ onnen, das man mit [Y ] bezeichnet. Wie immer ist es nur bis auf Isomorphie bestimmt. Man nennt [Y ] das zum Divisor Y assoziierte B¨ undel. Die holomorphen Funktionen f _i definieren einen globalen Schnitt s _Y in [Y ], der genau auf Y verschwindet.

Konsequenz: [Y ] ist ¨ uber X \ Y trivial.

Details siehe (A-3), Seite 200, und auch (A-7).

Satz (Erste Adjunktionsformel): Unter den obigen Voraussetzungen ist [Y ]| _Y = N _X (Y ).

Beweise siehe (A-3), Seite 215, sowie (A-5), Proposition 2.4.7.

Tensorprodukt von Vektorb¨ undeln (siehe (A-3), Seite 179, und (A-5).

Satz (Zweite Adjunktionsformel): Unter den obigen Voraussetzungen ist K Y = i

K X ⊗ N X (Y ).

Beweise siehe (A-3), Seite 215, sowie (A-5), Proposition 2.2.17

Beispiel: Ist H ⊂ P ⁿ eine Hyperebene, so nennt man O (1) := [H ] das Hyperebenenschnittb¨ undel. Dabei ist es egal, von welcher Hyperebene man ausgeht. Nimmt man etwa H = {z 0 = 0}, so ist H ∩ U i = {(z 0 : . . . : z n ) : z 0 /z i = 0}. Als ¨ Ubergangsfunktionen f¨ ur O(1) erh¨ alt man also g ik = (z 0 /z i )/(z 0 /z k ) = z k /z i . Das zeigt, dass O (1) das duale B¨ undel zu O (−1) ist.

Die q-te Tensorpotenz O (q) := O (1)

wird durch die ¨ Ubergangsfunktionen (z _k /z _i ) ^q bestimmt (siehe (A-3), Seite 178/179).

Jedes homogene Polynom F vom Grad q (in den Ver¨ anderlichen z ₀ , . . . , z _n ) induziert einen globalen Schnitt s F ∈ Γ( P ⁿ , O (q)), durch

(s F ) i (z 0 : . . . : z n ) := z

_i F (z 0 , . . . , z n ) auf U i .

Details dazu siehe (A-3), Seite 221. Man kann die Aussage auch umdrehen und erh¨ alt:

Satz: F¨ ur q ∈ N ist Γ( P ⁿ , O (q)) isomorph zum Raum der homogenen Polynome vom Grad q in den

Variablen z 0 , . . . , z n .

Euler-Sequenz und projektive B¨ undel (Sera, 12.06.) Literatur: (A-3), (A-5), (A-9)

F¨ ur das Hyperebenenschnittb¨ undel O (1) (vgl. voriger Vortrag) gibt es eine alternative Beschreibung:

Sei p ₀ := (0 : . . . : 0 : 1) ∈ P ⁿ⁺¹ und die Projektion π ₀ : P ⁿ⁺¹ \ {p ₀ } → P ⁿ definiert durch π 0 (z 0 : . . . : z n : z n+1 ) := (z 0 : . . . : z n ).

Das ist in Wirklichkeit ein Faserb¨ undel und isomorph zu O (1).

Sei z ∈ C ⁿ⁺¹ \ {0}. Durch

ϕ

[f ] := d dt

₀ (f ◦ π(z + tw))

wird eine surjektive lineare Abbildung ϕ

: C ⁿ⁺¹ → T _π(z) ( P ⁿ ) definiert, mit Ker(ϕ

) = C z. Dies benutzt man, um folgende exakte Sequenz einzuf¨ uhren:

0 −→ O

−→ O (1)

−→ T ( P ⁿ ) −→ 0.

Details siehe (A-3), Seite 222, sowie (A-5), Seite 91 - 93.

Ist π : E → X ein Vektorb¨ undel vom Rang q, so bezeichnet man P (E) := [

x∈X

P (E _x ), mit P (E _x ) := (E _x \ {0})/ C

, als das zugeh¨ orige projektive B¨ undel.

Mit Hilfe der lokalen Trivialisierungen ϕ _i von E erh¨ alt man lokale Trivialisierungen ϕ e i : P (E)| U

→ U i × P ^q−1 ,

und die kann man zu dem globalen B¨ undel P (E) zusammenkleben.

Uber jeder Faser des projektiven B¨ ¨ undels hat man ein tautologisches B¨ undel. Alle diese B¨ undel zusammen ergeben ein Geradenb¨ undel L(E) = O

(E) (−1) ¨ uber P (E).

Literatur dazu: (A-9), (A-5), leider etwas d¨ unn. Man muss wohl selber rechnen.

L(E) ist Unterb¨ undel von P (E) X E := {(p, v) ∈ P (E) × E : π(p) = e π(v)}. Die Inklusion induziert eine biholomorphe Abbildung

Φ : L(E) \ P (E) → E \ Z _E ,

wenn man den Nullschnitt (oder genauer das Bild des Nullschnittes in E) mit Z _E bezeichnet.

Fasermetriken und positive B¨ undel (Roitzsch, 19.06.) Literatur: (A-4)

Definition: Sei π : E → X ein komplexes Vektorb¨ undel. Ein Fasermetrik auf E ist eine differenzierbare Abbildung h : E ⊕ E → C , die auf jeder Faser E _x ein hermitesches Skalarprodukt induziert. Man nennt E dann ein hermitesches Vektorb¨ undel.

Lokale Beschreibung: Ist ϕ : E| U → U × C ^q eine lokale Trivialisierung, so gibt es eine differenzierbare Abbildung H ϕ : U → GL q ( C), so dass f¨ ur alle x ∈ U gilt:

1. H ϕ (x)

= H ϕ (x).

2. h x (ϕ

_x v), ϕ

_x (w)

= v

H ϕ (x)

w.

Ist eine ¨ Uberdeckung von X durch Trivialisierungen ϕ i : E| U

→ U i × C ^q gegeben (mit ¨ Ubergangs- funktionen g ik : U i ∩ U k → GL q ( C )) und h durch ein System von Matrix-Funktionen H i , so gilt ¨ uber U i ∩ U k :

H _k (x) = g _ik (x)

H _i (x)

g _ik (x).

Satz: Ist π : E → X ein beliebiges komplexes Vektorb¨ undel, so gibt es auf E eine Fasermetrik.

Beweis: Benutze ¨ Uberdeckung durch Trivialisierungen und dazu eine Teilung der Eins (e _i ). Das Standards- kalarprodukt auf dem C ^q induziert Fasermetriken h _i auf E| _U

. Dann ist h := P

i e _i h _i eine Fasermetrik auf E.

Beispiel: Ber¨ uhmt ist die Fubini-Study-Metrik auf dem P ⁿ . Die kann man als Fasermetrik auf dem T( P ⁿ ) einf¨ uhren. Sei U i = {[z] ∈ P ⁿ : z i 6= 0}, ϕ i : U i → C ⁿ die Karte, die durch

ϕ _i (z ₀ : . . . : z _n ) := z ₀ z i

, . . . , c z _i z i

, . . . , z _n z i

gegeben wird. Wir schreiben t iν := z ν /z i f¨ ur die lokalen Koordinaten. Sei f i : U i → R definiert durch f _i (z ₀ : . . . : z _n ) := ln X ⁿ

ν=0

|t iν | ² .

Dann kann man h i : T ( P ⁿ )| U

⊕ T( P ⁿ )| U

→ C definieren durch h i ([z], v, w) := Lev _[z] (f i )(v, w).

Man rechnet leicht nach, dass so eine globale Fasermetrik eingef¨ uhrt wird.

Sind auf B¨ undeln E, E 1 , E 2 Fasermetriken h, h 1 , h 2 gegeben, die durch Matrizensysteme (H i ), (H _i ⁽¹⁾ ) und (H _i ⁽²⁾ ) beschrieben werden, so erh¨ alt man

1. Eine Fasermetrik auf E 1 ⊕ E 2 , mit Matrizen H _i ⁽¹⁾ 0 0 H _i ⁽²⁾

! , 2. eine Fasermetrik auf E

, mit Matrizen (H _i

)

.

Definition: Sei π : E → X ein Vektorb¨ undel, h eine Fasermetrik auf E und x ₀ ∈ X . Eine Trivialisierung ϕ : E| _U → U × C ^q (mit x ₀ ∈ U) heißt normal in x ₀ bez¨ uglich h, falls h bez¨ uglich der Trivialisierung ϕ durch eine Matrixfunktion H ϕ : U → GL q ( C ) beschrieben wird, so dass gilt:

H ϕ (x 0 ) = E q (Einheitsmatrix) und (∂H ϕ ) x

= 0.

Tats¨ achlich kann man diese Situation immer herstellen:

Ausgangspunkt ist eine beliebige Trivialisierung ϕ 0 ¨ uber U . Sei H 0 die hermitesche Matrixfunktion, die

h bez¨ uglich ϕ 0 beschreibt. Weil H 0 (x 0 ) eine positiv definite hermitesche Matrix ist, gibt es eine Matrix

A ∈ GL q ( C ) mit A

H 0 (x 0 )

A = E q . Sei F A : C ^q → C ^q die lineare Abbildung mit F A (z) := A

z.

Setzt man ϕ := (id _U × F _A

) ◦ ϕ ₀ , so gilt f¨ ur die Matrix H , die h bez¨ uglich ϕ beschreibt, die Gleichung H (x ₀ ) = A

H ₀ (x ₀ )

A = E _q . Als n¨ achstes wird R : U → M _n,n ( C ) definiert durch

R ik (x) := δ ik −

n

X

ν=1

∂H _ki

∂z ν

(0)z ν ,

wobei z ₁ , . . . , z _n lokale Koordinaten auf U mit z _ν (x ₀ ) = 0 f¨ ur ν = 1, . . . , n sind. Dann ist R(x ₀ ) = E _q (und o.B.d.A. R(x) ∈ GL q ( C ) f¨ ur x ∈ U ). Jetzt definiere man die Trivialisierung ψ durch ψ := Φ ◦ ϕ, mit Φ(x, v) := (x, R(x)

v). Die hermitesche Matrix H e beschreibe h bez¨ uglich ψ. Dann ist H e (x) = R(x)

H (x)

R(x), also H(x e ₀ ) = E _q . Und man rechnet leicht nach, dass ∂ H e _ik

∂z λ

(0) = 0 f¨ ur alle i, k, λ ist.

Definition: Sei π : E → X ein Vektorb¨ undel, Z E ⊂ E der Nullschnitt. E heißt negativ, falls es auf E eine Fasermetrik h gibt, so dass χ h (mit χ h (v) := h(v, v)) auf E \ Z E 1-konvex ist. Das B¨ undel heißt positiv, falls E

negativ ist.

Sei x ₀ ∈ X und ϕ eine Trivialisierung, die in x ₀ normal bez¨ uglich h ist. Ist v ∈ E _x

, so kann man E _x

als Untervektorraum von T _v (E) auffassen. Die biholomorphe Abbildung ϕ : E| U → U × C ^q induziert einen Isomorphismus T _v ϕ : T _v (E) → T _ϕ(v) (U × C ^q ) = T _x

(X) ⊕ C ^q , der E _x

auf {0} × C ^q abbildet. Es sei B ^(ϕ) v

das Urbild von T _x

(X) × {0} unter T _v ϕ.

Satz: E ist genau dann positiv, wenn es eine Fasermetrik h auf E gibt, so dass f¨ ur jeden Punkt x 0 ∈ X und jede in x 0 bez¨ uglich h normale Trivialisierung ϕ : E| U → U × C ^q gilt:

F¨ ur v ∈ E x

\ {0} ist Lev v (χ h ) auf B v ^(ϕ) negativ definit.

Beweis: Sei h

eine Fasermetrik auf E

, so dass χ h

auf E

\ Z E

1-konvex ist. Sei x 0 ∈ X und ϕ

: E

| U → U × C ^q eine Trivialisierung mit x 0 ∈ U , sowie H

die Matrix, die h

bez¨ uglich ϕ

beschreibt, und H := (H

)

. Es sei ϕ

dual zu einer in x 0 normalen Trivialisierung ϕ von E. Dann beschreibt H die Fasermetrik h bez¨ uglich ϕ, und ϕ

ist ebenfalls in x 0 normal. Man rechnet nach: Ist v ∈ E x

, ϕ(v) = (x ₀ , v), v

∈ E _x

0

und ϕ

(v

) = (x ₀ , w), sowie η = (η

, η

) ∈ T _v (E) und ξ = (ξ

, ξ

) ∈ T _v

(E

), so ist

Lev _v (χ _h )(ξ, ξ) =

q

X

j=1

|ξ

_j | ² +

n

X

ν,µ=1

X ^q

i,k=1

∂ ² H ik

∂z _ν ∂z _µ (0)v _i v _k ξ _ν

ξ

_µ

Lev v

(χ h

)(η, η) =

q

X

j=1

|η

_j | ² −

n

X

ν,µ=1

X ^q

i,k=1

∂ ² H ik

∂z _ν ∂z _µ (0)w i w k

η

_ν η

_µ

Daraus folgt die Behauptung des Satzes.

Lev _v (χ _h ) hat in Faserrichtung immer q positive Eigenwerte. Das B¨ undel heißt positiv, wenn Lev _v (χ _h ) auf E \ Z _E in

” horizontaler Richtung“ die maximale Zahl von negativen Eigenwerten (also n) besitzt.

Der Grund f¨ ur die Bezeichnung

” positiv“ kann hier nicht erl¨ autert werden.

Beispiel: Das Hyperebenenschnittb¨ undel O (1) auf dem P ⁿ wird durch die ¨ Ubergangsfunktionen g ij = z j /z i beschrieben. Auf U i = {(z 0 : . . . : z n ) ∈ P ⁿ : z i 6= 0} sei h i definiert durch

h i (z 0 : . . . : z n ) := |z i | ² P n

j=0 |z j | ² = X

j6=i

|t j | ² + 1

,

f¨ ur t j := z j /z i . Dann ist h i |g ij | ² = h j , also wird durch das System der h i eine Fasermetrik auf O (1) definiert.

Sei x 0 ∈ U i . Mit Hilfe einer orthogonalen Koordinatentransformation kann man erreichen, dass x 0 = (0 : . . . : 1 : . . . : 0) ist. Dann ist h i (x 0 ) = 1, und die Ableitungen

∂h

verschwinden im Punkt x ₀ . Also ist die Trivialisierung ϕ _i : O (1)| U

→ U _i × C in x ₀ normal bez¨ uglich der konstruierten Fasermetrik h. Man rechnet nun leicht nach, dass

∂ ² h i

∂t _ν ∂t _µ (x 0 ) = −δ νµ

ist. Also hat Lev _(x

_,v) (χ _h ) f¨ ur jedes v 6= 0 die maximale Anzahl negativer Eigenwerte. Das bedeutet, dass O (1) positiv ist.

Definition: Das B¨ undel E heißt r-positiv, wenn Lev _v (χ _h ) f¨ ur jedes v ∈ E \ Z _E in horizontaler Richtung h¨ ochstens r − 1 Eigenwerte ≥ 0 (also mindestens n − r + 1 Eigenwerte < 0) besitzt, wenn also f¨ ur jedes v 6= 0 die hermitesche (n × n)-Matrix

q

X

i,k=1

∂ ² H ik

∂z ν ∂z µ

(0)v i v k

ν, µ = 1, . . . , n n − r + 1 negative Eigenwerte besitzt.

Bei Schneider heißt ein B¨ undel metrisch r-konvex, wenn es eine Fasermetrik h auf E gibt, so dass χ h auf E \ Z E r-konvex ist. Das B¨ undel heißt metrisch r-konkav, falls E

metrisch r-konvex ist. In diesem Falle gibt es auf E

eine Fasermetrik h

, so dass Lev(χ h

) h¨ ochstens r −1 Eigenwerte ≤ 0 besitzt. Also stimmt

” metrisch r-konkav“ mit

” r-positiv“ ¨ uberein.

Der Satz von Schneider f¨ ur Hyperfl¨ achen (Roitzsch, 26.06.) Literatur: (A-8)

Sei π : E → X ein Geradenb¨ undel und ϕ _i : E| U

→ U _i × C eine ¨ Uberdeckung durch Trivialisierungen mit ¨ Ubergangsfunktionen g _ij . Eine Fasermetrik auf E ist gegeben durch ein System (h _i ) von Funktionen h _i : U _i → R + mit h _j = h _i |g _ij | ² auf U _i ∩ U _j . Dann ist

log h _j = log h _i + log g _ij + log g _ij , also Lev x (log h j ) = Lev x (log h i ) auf U i ∩ U j .

Es ist

Lev _x (log h _i )(ξ, ξ) = − 1

h _i (x) ² |(∂h _i ) _x (ξ)| ² + 1

h _i (x) Lev _x (h _i )(ξ, ξ).

Liegt also eine in x 0 normale Trivialisierung vor, so ist Lev x

(log h i )(ξ, ξ) = Lev x

(h i )(ξ, ξ). Das Gera- denb¨ undel ist demnach genau dann r-positiv, wenn Lev x (log h i ) f¨ ur jedes i und jedes x ∈ U i mindestens n − q + 1 Eigenwerte < 0 hat.

Satz: Sei X eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit und Y ⊂ X eine abgeschlossene 1-codimensionale komplexe Untermannigfaltigkeit. Ist das Normalenb¨ undel von Y in X q-positiv, so ist X \Y eine q-konvexe Mannigfaltigkeit.

Zum Beweis: Mit L := [Y ] ist L| Y = N X (Y ). Die Positivit¨ at von N X (Y ) liefert eine Fasermetrik g (gegeben durch Funktionen g i ), die man mit einer Teilung der Eins zu einer Fasermetrik h auf L fortsetzen kann. Ist Y ∩ U _i = {f i = 0}, so ist h durch ein System von Funktionen h _i mit

h j = h i

|f i | ²

|f _j | ² und h i | U

= g i

gegeben. Nach Voraussetzung hat Lev _x (log g _i ) f¨ ur x ∈ Y ∩ U _i mindestens n − q = (n − 1) − q + 1 negative Eigenwerte. Das gilt dann auch f¨ ur Lev x (log h i ) in den Punkten x ∈ Y ∩ U i .

Sei c > 0 und ϕ i := h i /(1+c|f i | ² h i ) auf U i . Weil ϕ i |f i | ² = ϕ j |f j | ² auf U i ∩U j ist, wird durch f | U

:= ϕ i |f i | ² eine globale differenzierbare R + -wertige Funktion f auf X definiert, die auf Y verschwindet.

Sei x 0 ∈ Y ∩ U i fest gew¨ ahlt. Man kann lokale Koordinaten z 1 , . . . , z n um x 0 w¨ ahlen, so dass gilt:

1. f _i = z _n ,

2. Lev x

(h i )(ξ, η) = ξ

Λ

η, mit Λ =







λ 1 0

. . .

0 λ n





 und λ 1 , . . . , λ _n−q < 0.

Es ist ϕ i (1 + c|z n | ² h i ) = h i , also log ◦h i (z 1 , . . . , z n−1 , 0) = log ◦ϕ i (z 1 , . . . , z n−1 , 0) und

∂ ² (log ◦ϕ i )

∂z _ν ∂z _µ (x 0 ) = ∂ ² (log ◦h i )

∂z _ν ∂z _µ (x 0 ) =

0 f¨ ur ν, µ < n und ν 6= µ, λ ν f¨ ur 1 ≤ ν = µ ≤ n − 1.

Weiter ist λ _n = ∂ ² (log ◦h _i )

∂z n ∂z n

= ∂ ² (log ◦ϕ _i )

∂z n ∂z n

+ c · h _i + c|z _n | ² ∂ ² h _i /(∂z _n ∂z _n ) 1 + c|z n | ² h i

, also

∂ ² (log ◦ϕ i )

∂z _n ∂z _n (x 0 ) = λ n − c · h i (x 0 ) . Schließlich ist ∂(log ◦h _i )

∂z n

(z ₁ , . . . , z _n−1 , 0) = ∂(log ◦ϕ _i )

∂z n

(z ₁ , . . . , z _n−1 , 0), also

∂ ² (log ◦ϕ i )

∂z n ∂z n

(x 0 ) = ∂ ² (log ◦h i )

∂z n ∂z n

(x 0 ) = 0 f¨ ur 1 ≤ ν ≤ n − 1.

Jetzt sei ϕ := − log(f | _X\Y ). Das ist eine differenzierbare Aussch¨ opfungsfunktion f¨ ur X \ Y . In der N¨ ahe

von Y ist Lev x (ϕ) = −Lev x (log f ) = −Lev x (log ϕ i + log f i + log f i ) = −Lev x (log ϕ i ). Also ist ϕ dort

q-konvex und X \ Y eine q-konvexe Mannigfaltigkeit.

Der σ-Prozess und das Aufblasen von Untermannigfaltigkeiten (Sera, 03.07.) Literatur: (A-5), (A-3)

F¨ ur z ∈ C ⁿ⁺¹ \ {0} sei `(z) = C z die Gerade durch z und den Nullpunkt und [z] der zugeordnete Punkt im P <sup>n</sup> . Betrachte F := {([z], w) ∈ P <sup>n</sup> × C <sup>n+1</sup> : w ∈ `(z)} (man nennt so etwas eine

” Inzidenzmannigfal- tigkeit“) mit den beiden Projektionen

π = pr ₁ : F → P ⁿ und σ := pr ₂ : F → C ⁿ⁺¹ .

Es ist π

([z]) = {[z]} × `(z), π beschreibt also das tautologische B¨ undel O (−1). Dies ist ein Unterb¨ undel des trivialen B¨ undels P ⁿ × C ⁿ⁺¹ : ¨ Uber U i = {[z] ∈ P ⁿ : z i 6= 0} definiere man die Trivialisierung ψ i : U i × C ⁿ⁺¹ → U i × C ⁿ⁺¹ durch

ψ _i [z], w :=

[z], u ₀ ([z], w), . . . , u _n ([z], w) , mit

u _i ([z], w) := w _i und u _ν ([z], w) := w _ν − w _i z i

z _ν f¨ ur ν 6= i.

F¨ ur [z] ∈ U _i ist { _z ¹

i

z, e ₀ , . . . , e b _i , . . . , e _n } eine Basis des C ⁿ⁺¹ und dann ψ

_i [z], (u 0 , . . . , u n )

= [z], u i e i + X

ν6=i

u ν + u i

z _i z ν e ν

, also

ψ

_i {[z]} × C e _i

= {([z], w) : w _ν = w i

z _i z _ν f¨ ur ν 6= i}

= {([z], w) : w ν z i − w i z ν = 0 f¨ ur ν = 0, . . . , n}

= {([z], w) : w ∈ C z} = O (−1) _[z] .

Die Hopf-Abbildung σ : F → C ⁿ⁺¹ hat folgende verbl¨ uffende Eigenschaft: Ist w 6= 0, so ist σ

(w) = {[w], w} eine 1-punktige Menge, w¨ ahrend σ

(0) = P ⁿ × {0} ∼ = P ⁿ ist. Setzt man E := σ

(0), so ist die Abbildung σ : F \ E → C ⁿ⁺¹ \ {0} biholomorph. Also entsteht F aus dem C ⁿ⁺¹ , indem man an Stelle des Nullpunktes einen n-dimensionalen projektiven Raum einsetzt. Als B¨ undelraum eines komplexen Geradenb¨ undels ¨ uber P ⁿ ist F wieder eine Mannigfaltigkeit! Man spricht vom σ-Prozess oder sagt, dass der C ⁿ⁺¹ im Nullpunkt aufgeblasen wird. Man kann diesen Prozess auf Mannigfaltigkeiten ¨ ubertragen.

Ist X eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit und x 0 ∈ X , so verstehen wir unter B x

(X) die Mannigfaltigkeit, die man gewinnt, wenn man an Stelle von x 0 einen (n − 1)-dimensionalen projektiven Raum einsetzt.

Ein kleines Spiel: Sei x ₀ := (0 : . . . : 1). Projiziert man P ⁿ⁺¹ \ {x 0 } auf H ₀ = {[z] : z _n+1 = 0}, so erh¨ alt man das Hyperebenenschnittb¨ undel O (1) ¨ uber H ₀ (wie man leicht durch Betrachten lokaler Trivialisie- rungen und der zugeh¨ origen ¨ Ubergangsabbildungen sieht). Entfernt man den Nullschnitt (also H ₀ ), so ist der Rest isomorph zu C ⁿ⁺¹ \ {0} (kann man sich leicht ¨ uberlegen, aus den Fasern des B¨ undels werden die Geraden durch den Nullpunkt). Bl¨ ast man im Nullpunkt auf, so bildet man eigentlich die Mannigfaltigkeit B _x

( P ⁿ⁺¹ \ H ₀ ). Dabei erh¨ alt man ein Geradenb¨ undel ¨ uber dem neu entstandenen projektiven Raum, das sich als das tautologische B¨ undel O (−1) erweist. Nimmt man H 0 wieder hinzu, so f¨ ugt man jeder Faser noch einen unendlich fernen Punkt hinzu, bekommt also ein projektives B¨ undel. Dieses B¨ undel enth¨ alt sowohl O (1) (nach Entfernen des Nullschnittes) als auch O (−1) (nach Entfernen des unendlich fernen Schnittes. (Literatur hierf¨ ur und f¨ ur das Folgende: (A-3), Seite 237/238, (A-5), Seite 98 - 100, (A-2), I, Seite 179, (B-6), Seite 515, evtl. (B-2), Seite 162. Etwas ausf¨ uhrlicher ist (B-13), Seite 71 - 74.

Ist G ⊂ C ⁿ ein Gebiet und A = N (f 0 , . . . , f k ) eine (k + 1)-codimensionale regul¨ are analytische Menge, sowie f = (f 0 , . . . , f k ), so setze man

X := {(w, x) ∈ G × P ^k : f (w) ∈ `(x)}

= {(w, [z]) ∈ G × P ^k : z i f j (w) − z j f i (w) = 0 ∀ i, j},

Auch diesen Prozess kann man verallgemeinern. Sei X eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit und Y ⊂ X eine Untermannigfaltigkeit der Codimension k + 1. Unter der monoidalen Transformation von X mit Zentrum Y versteht man eine n-dimensionale komplexe Mannigfaltigkeit X, zusammen mit e einer Hyperfl¨ ache E und einer holomorphen Abbildung p : X e → X , so dass gilt:

1. p : X e \ E → X \ Y ist biholomorph.

2. E = P (N X (Y )).

Die monoidale Transformation existiert und ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt. E wird auch hier als exzeptioneller Divisor bezeichnet, und man sagt, X e entsteht aus X durch Aufblasen l¨ angs Y . Der Divisor E definiert ein Geradenb¨ undel L = [E] auf X e mit L|

_(N

₎ = O

(N

) (−1). Nach der ersten Adjunktionsformel (vgl. Vortrag 5) ist L| E = N

X

(E).

Definition: Sei X eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit. Ein Vektorb¨ undel π : E → X heißt schwach negativ, falls es eine streng pseudokonvexe relativ-kompakte Umgebung U des Nullschnittes Z E gibt, so dass Z E maximale kompakte Teilmenge von U ist. E heißt schwach positiv, falls E

schwach negativ ist.

Man kann zeigen: Jedes positive B¨ undel ist schwach positiv. Ein Geradenb¨ undel ist genau dann positiv, wenn es schwach positiv ist. Ein B¨ undel E ist genau dann schwach negativ, wenn es durch Aufblasen entstanden ist und der Nullschnitt der exzeptionelle Divisor ist. Allerdings kann es sein, dass der aufzu- blasende Raum Singularit¨ aten hat (Beweise k¨ onnen hier nicht vorgef¨ uhrt werden).

Satz: Ist E

→ E

→ 0 eine exakte Sequenz von Vektorb¨ undeln und E

positiv, so ist auch E

positiv.

Der Beweis wird einfach durch ¨ Ubergang zur dualen Sequenz gef¨ uhrt. (vgl. (A-4)) Satz: Sind E

und E

zwei positive Vektorb¨ undel, so ist auch E

⊕ E

positiv.

Folgerung: Das Tangentialb¨ undel T ( P ⁿ ) ist positiv.

Beweis: O (1) ist positiv, und man hat die Euler-Sequenz O (1)

→ T ( P ⁿ ) → 0.

Folgerung: Ist Y ⊂ P ⁿ eine Untermannigfaltigkeit, so ist N

(Y ) positiv.

Der Satz von Schneider im allgemeinen Fall (Sera, 10.07.) Literatur: (A-8)

” q-positiv“ =

” metrisch q-konkav“ (vgl. Vortrag 7)

Lemma: Sei X eine komplexe Mannigfaltigkeit. Ist E ein q-positives holomorphes Vektorb¨ undel vom Rang k ¨ uber X, so ist L(E) ein (k + q − 1)-positives Geradenb¨ undel ¨ uber P (E).

Beweis: Man benutzt E \ Z _E ∼ = L(E) \ Z _L(E) , verm¨ oge v 7→ ([v], v). Es sei p : P (E) → X die kanonische Projektion. Sei h die Fasermetrik auf E, bez¨ uglich der E q-positiv ist. Dann definiert man e h auf L(E) durch

e h([z]; v, w) := h p([z]); v, w .

Sei x ₀ ∈ X , ϕ : E| _U → U × C ^k eine bez¨ uglich h in x ₀ normale Trivialisierung von E. Dann wird h durch eine hermitesche Matrix(funktion) H = (h αβ ) beschrieben. z 1 , . . . , z n seien lokale Koordinaten f¨ ur X nahe x 0 , ξ 1 , . . . , ξ k Faserkoordinaten auf E x

.

p

(U ) wird durch die Mengen U e κ := U × {(ξ 1 : . . . : ξ k ) : ξ κ 6= 0} uberdeckt, ¨ κ = 1, . . . , k. Man hat Trivialisierungen ϕ e κ : L(E)|

U

→ U e κ × C mit

x, (ξ 1 : . . . : ξ k ) , λ · ξ 1

ξ κ

, . . . , ξ k

ξ κ

7→

x, (ξ 1 : . . . : ξ k ) , λ

. Nun ist

e h

x, (ξ ₁ : . . . : ξ _k ) , λ

ξ _κ (ξ ₁ , . . . , ξ _k ), µ

ξ _κ (ξ ₁ , . . . , ξ _k )

=

= h x, λ

ξ κ

(ξ 1 , . . . , ξ k ), µ ξ κ

(ξ 1 , . . . , ξ k )

= λµ

|ξ κ | ² · ξ

H (x)

ξ

= λµ

|ξ κ | ² · X

α,β

h αβ (x)ξ α ξ _β .

e h wird also bez¨ uglich ϕ e _κ durch die Funktion e h _κ : x, (ξ ₁ : . . . : ξ _k )

7→ 1

|ξ κ | ² · X

α,β

h _αβ (x)ξ _α ξ _β beschrieben.

Sei nun y ₀ ∈ P (E) _x

, o.B.d.A. y ₀ = x ₀ , (0 : . . . : 0 : 1)

, also κ = k. Ist η _% := ξ _% /ξ _k , so ist e h _k = X

α,β

h αβ (x)η α η _β . Weil h αβ (x 0 ) = δ αβ und (∂h αβ ) x

= 0 ist, erh¨ alt man

∂ ² (e h k )

∂z _ν ∂z _µ (y ₀ ) = ∂ ² h kk

∂z _ν ∂z _µ (x ₀ ) (f¨ ur alle ν, µ),

∂ ² (e h _k )

∂z ν ∂η _β (y 0 ) = ∂ ² (e h _k )

∂η α ∂z µ

(y 0 ) = 0 (f¨ ur alle ν, µ, α, β) und ∂ ² (e h _k )

∂η α ∂η _β (y ₀ ) = δ _αβ (f¨ ur alle α, β).

Nach Voraussetzung ist E q-positiv. Also hat X

α,β

∂ ² h αβ

∂z ν ∂z µ

(x 0 )v α v β

ν, µ = 1, . . . , n

f¨ ur jedes v = (v 1 , . . . , v k ) 6= 0 mindestens n − q + 1 negative Eigenwerte. Insbesondere hat dann ∂ ² h kk

∂z _ν ∂z _µ (x 0 )

min-

Also ist L(E) (k + q − 1)-positiv.

Satz: Sei X eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit und Y ⊂ X eine abgeschlossene k-codimensionale komplexe Untermannigfaltigkeit mit q-positivem Normalenb¨ undel. Dann ist X \ Y eine (k +q −1)-konvexe Mannigfaltigkeit.

Beweis: Man bl¨ ast X l¨ angs Y auf. Sei X

dieso erhaltende monoidale Transformation und Y

⊂ X

der exzeptionelle Divisor. Sei π : X

→ X die zugeh¨ orige holomorphe Abbildung, so dass π : X

\ Y

→ X \ Y biholomorph ist, sowie Y

= P (N X (Y )). Sei N = N X (Y ). Dann ist L(N ) (k + q − 1)-positiv. Es ist L(N ) = N X

(Y

) (siehe Vortrag 9). Nach dem Hyperfl¨ achenfall (vgl. Vortrag 8) ist dann X

\Y

(k+q−1)- konvex, also auch X \ Y .

Folgerung: Sei X eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit und Y ⊂ X eine abgeschlossene k-codimen- sionale komplexe Untermannigfaltigkeit mit q-positivem Normalenb¨ undel. Dann gilt f¨ ur jede koh¨ arente analytische Garbe F auf X \ Y :

dim

H ⁱ (X \ Y, F ) < ∞ f¨ ur i ≥ k + q − 1.

Man braucht dazu die Andreotti/Grauert-Theorie (Vortrag 3).

Folgerung: Sei X eine kompakte komplexe Mannigfaltigkeit und Y ⊂ X eine abgeschlossene k-codimen- sionale komplexe Untermannigfaltigkeit mit positivem Normalenb¨ undel. Dann ist X \ Y eine k-konvexe Mannigfaltigkeit.

Klar, denn 1-positiv bedeutet

” positiv“ (Vortrag 7).

Folgerung: Sei Y ⊂ P ⁿ eine abgeschlossene k-codimensionale komplexe Untermannigfaltigkeit. Dann ist P ⁿ \ Y eine k-konvexe Mannigfaltigkeit.

Das folgt aus der Positivit¨ at des Tangentialb¨ undels des P ⁿ .

Ersatztermin (17.07.)

Literatur:

(A) Im Ordner zum Kopieren:

1. G. H. Henkin / J. Leiterer: Andreotti-Grauert Theory by Integral Formulas 2. M. Field: Several Complex Variables and Complex Manifolds I/II

3. K. Fritzsche / H. Grauert: From Holomorphic Functions to Complex Manifolds

4. K. Fritzsche: Ein Kriterium f¨ ur die q-Konvexit¨ at von Restmengen in kompakten komplexen Man- nigfaltigkeiten (Dissertation 1975)

5. D. Huybrechts: Complex Geometry

6. J. Michel: Integralformeln in der komplexen Analysis (Dissertation 1981) 7. R. Narasimhan: Compact Analytical Varieties

(in: Topics in Several Complex Variables, Douady/Grauert/Malgrange/Narasimhan/Stein) 8. M. Schneider: ¨ Uber eine Vermutung von Hartshorne, Math.Ann 201, 221-229 (1973) 9. F. Zheng: Complex Differential Geometry

(B) Erg¨ anzende Literatur:

1. J. Dieudonn´ e: Grundz¨ uge der modernen Analysis 3 2. G. Fischer: Complex Analytic Geometry

3. H. Grauert / Th. Peternell / R. Remmert: Several Complex Variables VII (Encyclopaedia of Mathematical Sciences, vol 74)

4. H. Grauert / K. Fritzsche: Einf¨ uhrung in die Funktionentheorie mehrerer Ver¨ anderlicher 5. H. Grauert / R. Remmert: Coherent Analytic Sheaves

6. Ph. Griffiths / J. Harris: Principles of Algebraic Geometry

7. R. Hartshorne: Ample Subvarieties of Algebraic Varieties. Springer Lecture Notes 156 (1970) 8. D. Husemoller: Fibre Bundles

9. R. Lazarsfeld: Positivity in Algebraic Geometry I/II

10. St. Lojasiewicz: Introduction to Complex Analytic Geometry 11. W. L¨ uck: Algebraische Topologie

12. R. Narasimhan: Analysis on Real and Complex Manifolds

13. I.R. Shafarevich: Basic Algebraic Geometry 2 (second edition)

14. R. O. Wells jr.: Differential Analysis on Complex Manifolds

(C) Erg¨ anzende und weiterf¨ uhrende Zeitschriftenartikel:

1. A. Andreotti / H. Grauert: Th´ eor` emes de finitude pour la cohomologie des espaces complexes.

Bull.Soc.math.France 90, 193 - 259 (1962)

2. W. Barth: Der Abstand von einer algebraischen Mannigfaltigkeit im komplex-projektiven Raum.

Math.Ann. 187, 150 - 162 (1970)

3. M. Buchner / K. Fritzsche / T. Sakai: Geometry and cohomology of certain domains in the complex projective space. Crelles Journal 323, 1 - 52 (1981)

4. K. Fritzsche: q-konvexe Restmengen in kompakten komplexen Mannigfaltigkeiten. Math.Ann. 221, 251 - 273 (1976)

5. H. Grauert: ¨ Uber Modifikationen und exzeptionelle analytische Mengen. Math.Ann. 146, 331 - 368 (1962)

6. A. Sommese: Concavity Theorems. Math.Ann. 235, 37 - 53 (1978)

7. G. Sorani / V. Villani: q-complete spaces and cohomology. Transactions of the AMS 125, 432 - 448 (1966)

8. V. Vˆ ajˆ aitu: On the equivalence of the definitions of q-convex spaces. Archiv der Mathematik 61,

567 - 575 (1993)