PD Dr. Thomas Kalmes WS 17/18

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Prof. Dr. Peter Junghanns Technische Universit¨ at Chemnitz Dr. Ralf Hielscher Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

PD Dr. Thomas Kalmes WS 17/18

Ubungen zur Vorlesung Analysis 1 ¨

http://www.tu-chemnitz.de/∼ peju/

Ubungsblatt 4 - Binomialkoeffizienten ¨

Aufgabe 1: Schreiben Sie den Term (x − y)

⁵

nach der binomischen Formel als Summe von Potenzen in x und y!

Aufgabe 2: Berechnen Sie den Koeffizienten vor a

¹⁵

in (1 + a)

²⁰

. Aufgabe 3: Zeigen Sie, dass f¨ ur alle n, k ∈ N

0

mit n ≥ k gilt

n

X

m=k

m k

=

n + 1 k + 1

.

Aufgabe 4: Zeigen Sie:

a) n

0 − n

1 + n

2 − . . . + (−1)

ⁿ

n

= 0, n ∈ N b) (1 + λ)

ⁿ

>

ⁿ₄²

λ

²

, λ > 0, n ∈ N \ {1}

Aufgabe 5: Zeigen Sie f¨ ur alle n ∈ N , n ≥ 1 die G¨ ultigkeit der Aussagen:

a) 2

ⁿ⁻¹

≤ n!

b) n

^k

k! ≥

n k

c) 1 +

_n¹

n

≤

n

X

k=0

1 k! < 3

Aufgabe 6:

a) Zeigen Sie f¨ ur n, k ∈ N mit n ≥ 2k, dass

_k+1ⁿ

≥

_(k+1)!¹ ⁿ₂

k+1

gilt.

b) Zeigen Sie, dass f¨ ur n, k ∈ N mit n ≥ 2k und x > 0 die Ungleichung (1 + x)

ⁿ

≥ x

^k+1

(k + 1)!

n 2

k+1

gilt.

Aufgabe 7: Dr¨ ucken Sie cos(nϕ) und sin(nϕ), n ∈ N , ϕ ∈ R in Potenzen von cos ϕ und sin ϕ aus.

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Hausaufgaben Abgabe Mo, 27.11.2017

Aufgabe 1: Beweisen Sie, dass f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n ∈ N

0

gilt 2 Punkte n

0 + n

1 + n

2 + . . . + n

n

= 2

ⁿ

.

Aufgabe 2: Beweisen Sie f¨ ur alle nat¨ urlichen Zahlen n ∈ N die Ungleichung 2 Punkte n

3

n

≤ 1 3 n!

gilt.

Aufgabe 3 (Arithmetisches, geometrisches und harmonisches Mittel): 5 Punkte Zeigen Sie f¨ ur alle nat¨ urlchen Zahlen n ∈ N und alle reellen Zahlen x

₁

, x

₂

, . . . , x

_n

> 0 die

Ungleichung

n

1 x1

+

_x¹

2

+ . . . +

_x¹

n

≤ √

ⁿ

x

₁

· x

₂

· . . . · x

_n

≤ x

₁

+ x

₂

+ . . . + x

_n

n

(harm. M. ≤ geom. M. ≤ arithm. M.). Gehen Sie dazu wie folgt vor:

a) Zeigen Sie die Ungleichung f¨ ur den Fall n = 2, d.h., dass f¨ ur alle reellen Zahlen x, y > 0 gilt

2

1

x

+

¹_y

≤ √

xy ≤ x + y 2 .

b) Zeigen Sie, dass die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel die Ungleichung zwischen harmonischem und geometrischem Mittel impliziert.

c) Zeigen, dass es ausreicht, die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel f¨ ur den Fall x

₁

· x

₂

· . . . · x

_n

= 1 zu beweisen.

d) Beweisen die Ungleichung zwischen geometrischem und arithmetischem Mittel f¨ ur den Fall x

₁

· x

₂

· . . . · x

_n

= 1 mittels vollst¨ andiger Induktion.

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