Prof. Dr. Peter Junghanns Technische Universit¨ at Chemnitz

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Prof. Dr. Peter Junghanns Technische Universit¨ at Chemnitz

Dr. Ralf Hielscher Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. Thomas Kalmes SS 18

Ubungen zur Vorlesung Analysis 2 ¨

http://www.tu-chemnitz.de/∼peju/

Ubungsblatt 6 - Integration ¨

Aufgabe 1: Zeigen Sie, dass f¨ ur zwei integrierbare Funktionen f, g : [a, b] →

R

auch die Funktionen max(f, g) und min(f, g) integrierbar sind.

Aufgabe 2: Finden Sie eine Folge integrierbarer Funktionen f

_n

: [0, 1] →

R

welche punktweise gegen eine integrierbare Funktion f : [0, 1] →

R

konvergiert, f¨ ur welche aber nicht

Z

1 0

f (t)dt = lim

n→∞

Z

1 0

f

n

(t)dt.

gilt

Aufgabe 3: Untersuchen Sie die folgenden Funktionen f : [0, 1] →

R

auf Integrierbarkeit:

a) f (x) =

( 1, x = 0, 0, x 6= 0, b) f (x) =

( 1, x ∈

Q

, 0, x / ∈

Q

,

c) f (x) = (

1

x

, x 6= 0, 0, x = 0, d) f (x) =

( sin

_x¹

, x 6= 0, 0, x = 0,

e) f (x) =

( x sin

¹_x

, x 6= 0,

0, x = 0.

Aufgabe 4: Finden Sie eine differenzierbare Funktion f : [0, 1] →

R

so, dass f

⁰

: [0, 1] →

R

nicht integrierbar ist.

Aufgabe 5: Zeigen Sie, ist f : [a, b] →

C

eine stetige Funktion mit Z

b

a

|f (x)| dx = 0,

so ist f (x) = 0 f¨ ur alle x ∈ [a, b]. Ist die Voraussetzung der Stetigkeit notwendig oder reicht es die Integrierbarkeit von f zu fordern?

Aufgabe 6: Zeigen Sie, dass zwei integrierbare Funktionen, welche bis auf abz¨ ahlbar viele

Stellen ¨ ubereinstimmen, das gleiche Integral haben.

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Aufgabe 7: Berechnen Sie die folgenden Integrale a)

Z dx

(x

²

− 1)(x

²

+ 1) , b)

Z sin x cos x sin

⁴

x + cos

⁴

x dx ,

c)

Z 1 + x 1 − x dx , d)

Z 2x + 5 x

²

+ 4x + 6 dx . Aufgabe 8: Bestimmen Sie R

_dx

cosx

und verwenden Sie R

_dx

cos²x

= tan x und partielle Integra- tion, um eine Rekursionsformel f¨ ur

I

n

(x) =

Z dx

cos

ⁿ

x (n ∈

N)

herzuleiten.

Aufgabe 9: Berechnen Sie a)

Z

1

−1

x|x| dx , b) Z

3,5

2

√ dx

5 + 4x − x

²

, c) Z

π/4

0

tan(x) dx , d) Z

π/4

0

x cos

²

x dx .

Aufgabe 10: Zeigen Sie, dass f¨ ur eine stetige Funktion f : [0, 1] →

R

gilt a)

Z

^π

2

0

f(sin x) dx = Z

^π

2

0

f (cos x) dx , b) Z

π

0

xf (sin x) dx = π 2

Z

π 0

f (sin x) dx .

Aufgabe 11: Bestimmen Sie die folgenden Stammfunktionen durch elementare Zur¨ uckf¨ uhrung auf Grundintegrale

a) Z √

1 + x

²

+ √ 1 − x

²

√ 1 − x

⁴

dx, b)

Z e

^3x

+ 1

e

^x

+ 1 dx , c)

Z

tan

²

x dx .

Aufgabe 12: Bestimme Sie mit Hilfe geeigneter Substitutionen a)

Z x

√

1 − x

²

dx , b) Z 1

x

²

sin 1

x dx , c)

Z dx

(x ln x) ln(ln x) , d)

Z dx sin x . Aufgabe 13: Bestimmen Sie mittels partieller Integration

a) Z √

x ln

²

x dx , b)

Z

sin x ln(tan x) dx , c) Z

x ln 1 + x

1 − x dx .

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Aufgabe 14: Berechnen Sie mittels Partialbruchzerlegung a)

Z 2x + 3

(x − 2)(x + 5) dx , b)

Z x

⁴

dx

x

⁴

+ 5x

²

+ 4 , c)

Z dx x

⁴

+ 1 ,

Aufgabe 15: Bestimmen Sie a) lim

x→∞

1 x

Z

x a

arctan y dy , b) lim

x→0

x Z

₁

x

cos t t

²

dt .

Aufgabe 16: Es sei f : [a, b] →

R

stetig und konkav. Zeigen Sie die Absch¨ atzung (b − a) f(a) + f (b)

2 ≤

Z

b a

f (x) dx ≤ (b − a) f

a + b 2

.

Aufgabe 17: Begr¨ unden Sie, warum der Grenzwert

a→∞

lim Z

a

−a

sin x dx existiert, aber nicht das uneigentliche Integral

Z

∞

−∞

sin x dx.

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