Prof. Dr. Peter Junghanns Technische Universit¨ at Chemnitz

Prof. Dr. Peter Junghanns Technische Universit¨ at Chemnitz

Dr. Ralf Hielscher Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. Thomas Kalmes SS 18

Ubungen zur Vorlesung Analysis 2 ¨

http://www.tu-chemnitz.de/∼peju/

Ubungsblatt 1 - Reihen ¨

Aufgabe 1: Untersuchen Sie die Reihe 1

2 + 1 3

²

+ 1

2

³

+ 1 3

⁴

+ 1

2

⁵

+ 1 3

⁶

+ . . . mit dem Quotienten- und dem Wurzelkriterium.

Aufgabe 2: Es seien a

_n

, b

_n

> 0 f¨ ur alle n ∈

N

und es existiere der Grenzwert q = lim

n→∞

a

_n

b

n

. Beweisen Sie folgende Vergleichskriterien:

a) Ist q < ∞, so folgt aus der Konvergenz von

∞

X

n=1

b

n

die Konvergenz von

∞

X

n=1

a

n

.

b) Ist q > 0, so folgt aus der Konvergenz von

∞

X

n=1

a

_n

die Konvergenz von

∞

X

n=1

b

_n

.

Aufgabe 3: Untersuchen Sie folgende Reihen auf Konvergenz:

a)

∞

X

n=1

n

r 1 n

b)

∞

X

n=2

1 p n(n − 1) c)

∞

X

n=1

(arctan n)

ⁿ

2

ⁿ

d)

∞

X

n=0

1 + (−1)

ⁿ

n

²

2 + n

²

e)

∞

X

n=1

(n!)

²

5

ⁿ

(2n)!

f)

∞

X

n=1

n

¹⁰

10

ⁿ

g)

∞

X

n=1

(−1)

ⁿ

(

ⁿ

√ 3 − 1)

h)

∞

X

n=1

sin

n + 1 n

π

i)

∞

X

n=1

1 p n(n

²

+ 1)

Aufgabe 4: Bestimmen Sie den Konvergenzradius folgender Potenzreihen a)

∞

X

n=0

n + 2

2

ⁿ

z

ⁿ

, b)

∞

X

n=0

(2 + z)

²ⁿ

(2 +

_n¹

)

ⁿ

.

1

Aufgabe 5: F¨ ur welche x ∈

R

konvergiert die Potenzreihe

∞

X

n=1

1 n

²

p n

²

+ n − p n

²

+ 1

n

(x + 1)

ⁿ

?

Aufgabe 6: Beweisen Sie: Sind (a

n

)

n∈N

und (b

n

)

n∈N

reelle Zahlenfolgen, f¨ ur die die Reihen

∞

X

n=1

|a

_n

|

²

und

∞

X

n=1

|b

_n

|

²

konvergieren, so konvergieren auch die Reihen

a)

∞

X

n=1

a

_n

b

_n

, b)

∞

X

n=1

(a

_n

+ b

_n

)

²

, c)

∞

X

n=1

|a

_n

| n .

Aufgabe 7: Es sei (a

_n

)

n∈N

eine reelle Zahlenfolge mit a

_n

6= 0 f¨ ur alle n ∈

N

und lim

n→∞

a

_n

= a 6= 0. Zeigen Sie, dass die Reihe

∞

X

n=1

|a

_n+1

− a

_n

| genau dann konvergiert, wenn die Reihe

∞

X

n=1

|a

⁻¹_n+1

− a

⁻¹_n

| konvergiert.

Aufgabe 8: Zeigen Sie, dass das Cauchy-Produkt der Reihe

∞

X

n=0

(−1)

ⁿ

√ n + 1 mit sich selbst divergent ist.

2

Hausaufgaben Abgabe Mo, 16.04.2018

Aufgabe 1: Uberpr¨ ¨ ufen Sie f¨ ur α ∈

R

folgende Reihen auf Konvergenz 9 Punkte a)

∞

X

n=1

n 3

ⁿ

b)

∞

X

n=1

1 2n − 1 c)

∞

X

n=1

n + 2 2n

³

− 1

d)

∞

X

n=1

(−1)

ⁿ

√ n

e)

∞

X

n=1

√ n

ⁿ

n!

f)

∞

X

n=13

1 2 + 1

n

n

g)

∞

X

n=1

√ n + 1 − √ n n

h)

∞

X

n=1

sin nα n

²

i)

∞

X

n=1

sin nα n .

Aufgabe 2: Berechnen Sie die Summen folgender Reihen 4 Punkte a)

∞

X

n=1

(−3)

ⁿ

4

ⁿ

, b)

∞

X

n=1

1 4n

²

− 1 .

Aufgabe 3: Einem Quadrat mit der Seitenl¨ ange 1 wird ein Kreis, diesem ein Quadrat, 4 Punkte dem wiederum ein Kreis usw. einbeschrieben. Das Verfahren denke man sich unendlich oft

fortgesetzt. Wie lautet die Summe

a) der Umf¨ ange aller Quadrate und Kreise, b) der Fl¨ achen aller Quadrate und Kreise?

Aufgabe 4: Bestimmen Sie den Konvergenzradius folgender Potenzreihen 4 Punkte a)

∞

X

n=1

nz

ⁿ⁻¹

b)

∞

X

n=0

3

ⁿ⁺²

2

ⁿ

z

ⁿ

, c)

∞

X

n=0

z

ⁿ

(n + (−1)

ⁿ

)! , d)

∞

X

n=0

2n n

z

ⁿ

.

Aufgabe 5: Sei (b

_k

)

k∈N

eine monoton fallende Nullfolge. Laut Leibniz-Kriterium existiert 2 Punkte der Grenzwert s = lim

n→∞

s

_n

der Partialsummen s

_n

=

n

X

k=1

(−1)

^k+1

b

_k

. Zeigen Sie |s

_n

− s| ≤ b

_n+1

f¨ ur alle n ∈

N

.

Aufgabe 6: Beweisen Sie: Ist die Reihe

∞

X

n=1

a

_n

absolut konvergent, so konvergiert auch 2 Punkte

∞

P

n=1

|a

_n

|

^p

f¨ ur alle p > 1 . Gilt auch die Umkehrung?

Aufgabe 7: Es sei b

_n

> 0 f¨ ur alle n ∈

N

und lim

n→∞

b

_n

= 0. Konvergiert dann die Reihe 2 Punkte

∞

X

n=1

(−1)

ⁿ⁺¹

b

_n

?

3