Prof. Dr. Peter Junghanns Technische Universit¨ at Chemnitz

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Prof. Dr. Peter Junghanns Technische Universit¨ at Chemnitz

Dr. Ralf Hielscher Fakult¨ at f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. Thomas Kalmes SS 18

Ubungen zur Vorlesung Analysis 2 ¨

http://www.tu-chemnitz.de/∼peju/

Ubungsblatt 5 - Funktionenfolgen ¨

Aufgabe 1: Untersuchen Sie die Funktionenfolgen (f

_n

) auf gleichm¨ aßige bzw. punktweise Konvergenz:

a) f

n

(x) = sin nx

n , x ∈

R,

b) f

_n

(x) = sin x

n , x ∈

R

,

c) f

_n

(x) = 1

1 + nx , x ∈ [0, 1],

d) f

_n

(x) = x

ⁿ

, x ∈ [0, 1 − ε] (ε > 0), e) f

n

(x) = x

1 + n

²

x , x ∈ [0, 1] . Aufgabe 2: Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf gleichm¨ aßige Konvergenz:

a)

∞

X

n=0

x

ⁿ

, x ∈ (−q, q) , 0 < q < 1 ,

b)

∞

X

n=0

x

ⁿ

, x ∈ (−1, 1) ,

c)

∞

X

n=0

x

ⁿ⁺¹

(n + 1)

²

, x ∈ [−1, 1] ,

d)

∞

X

n=1

(x

ⁿ

− x

ⁿ⁻¹

) , x ∈ [0, 1] ,

e)

∞

X

n=0

x

ⁿ

n! , x ∈ [a, b], f)

∞

X

n=1

cos(nx)

n

²

, x ∈

R

.

Aufgabe 3: Es seien (X, d

_X

) und (Y, d

_Y

) metrische R¨ aume und f : X → Y, f

_n

: X → Y, n ∈

N,

Abbildungen.

a) Es sei (Y, d

_Y

) vollst¨ andig. Zeigen Sie, dass (f

n

)

n∈N

genau dann gleichm¨ aßig (gegen f ) konvergiert, wenn (f

_n

)

n∈N

eine gleichm¨ aßige Cauchyfolge ist, d.h. wenn

∀ ε > 0 ∃ n

₀

∈

N

∀ n, m ≥ n

₀

, x ∈ X : d

_Y

(f

_n

(x), f

_m

(x)) < ε.

b) (f

n

)

n∈N

sei punktweise konvergent gegen f sowie eine gleichm¨ aßige Cauchyfolge. Zeigen Sie, dass (f

n

)

n∈N

gleichm¨ aßig gegen f konvergiert.

Aufgabe 4: Seien I, J Intervalle und (f

n

)

n∈N

eine Folge von Funktionen f

n

: I → J, die

gleichm¨ aßig gegen eine Funktion f : I → J konvergiert. Weiter sei g : J →

R

gleichm¨ aßig

stetig. Zeigen Sie, dass die Folge (g ◦ f

_n

)

n∈N

ebenfalls gleichm¨ aßig konvergent ist.

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Aufgabe 5: Seien f

_n

: [a, b] →

C

differenzierbare Funktionen derart, dass die Folge der Ab- leitungen (f

_n⁰

) gleichm¨ aßig konvergiert und die Folge (f

n

) selbst zumindest in einem Punkt x

₀

∈ [a, b] konvergent ist. Dann konvergiert die Folge (f

_n

) gleichm¨ aßig gegen eine differenzierbare Funktion f und die Folge der Ableitungen (f

_n⁰

) gegen f

⁰

.

Aufgabe 6:

a) ¨ Uberpr¨ ufen Sie, ob die folgenden Unterr¨ aume von (`

∞

, k·k

_∞

) abgeschlossen - und damit versehen mit der Supremumsnorm Banachr¨ aume - sind:

i) der Raum aller endlichen Folgen: c

₀₀

= {(x

_n

)

n∈N

| ∃N ∈

N

: ∀n ≥ N : x

_n

= 0}, ii) der Raum aller Nullfolgen: c

₀

= {(x

_n

)

n∈N

| lim

n→∞

x

_n

= 0},

iii) der Raum aller konvergenten Folgen: c = {(x

_n

)

n∈N

| ∃a ∈

R: lim

n→∞

x

n

= a}, b) ¨ Uberpr¨ ufen Sie, ob der Unterraum {f ∈ C([0, 1]) | f (0) = f (1) = 0} von (C([0, 1], k·k

_∞

)

abgeschlossen - und damit versehen mit der Supremumsnorm ein Banachraum - ist.

Aufgabe 7: Es sei (V, k · k) ein normierter Raum. Zeigen Sie die ¨ Aquivalenz der folgenden Aussagen.

i) (V, k · k) ist ein Banachraum.

ii) F¨ ur jede Folge (x

n

)

n∈N

mit

P∞

n=1

kx

_n

k < ∞ konvergiert (

Pn

m=1

x

m

)

n∈N

in (V, k · k).