Kapitel 4

Kapitel 4

Gew¨ohnliche Differentialgleichungen

Inhalt

4 Gew¨ohnliche Differentialgleichungen Grundbegriffe

Differentialgleichungen 1. Ordnung

Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten Differentialgleichungssysteme

Motivation

In Anwendungen kommen oft Gr¨oßen vor, die ¨uber ihr Anderungsverhalten¨ charakterisiert sind.

Wenn man diese Zusammenh¨ange in einer Gleichung beschreibt, f¨uhrt dies meist zu einerDifferentialgleichung.

Eine Differentialgleichung ist dabei eine Gleichung, die Ableitungen einer gesuchten Funktion erh¨alt.

Als L¨osung suchen wir keinen Wert sondern eine Funktion, die die Gleichung erf¨ullt.

Gew¨ohnliche Differentialgleichugen sind Gleichungen wie y⁰(x) = sin(2x) oder y⁰(x) =y(x) oder

x²·y⁰(x) = (y(x))²+x·y(x) oder mit h¨ohere Ableitungen wie

y⁰⁰(x)−2y⁰(x)−y(x) = 0.

Meistens l¨asst man die unabh¨angige Variable weg und schreibt kurz y⁰⁰−2y⁰−y = 0.

Ist die unabh¨angige Variable die Zeit, wird oft die Notation y˙ statt y⁰ verwendet.

Differentialgleichung

Definition 4.1

Eine gew¨ohnliche Differentialgleichungn-ter Ordnung f¨ur eine Funktion y =y(x) ist eine Gleichung zwischen x,y und den Ableitungen von y bis zur n-ten Ableitung.

Die implizite Formsolch einer Differentialgleichung lautet:

F(x,y,y⁰,y⁰⁰, . . . ,y⁽ⁿ⁾) = 0

In der expliziten Formliegt die Gleichung aufgel¨ost nachy⁽ⁿ⁾ vor:

y⁽ⁿ⁾=f(x,y,y⁰,y⁰⁰, . . . ,y⁽ⁿ⁻¹⁾)

Eine Funktion y(x), die die Differentialgleichung erf¨ullt, heißtL¨osung.

Beispiel 4.2

1 Implizite Differentialgleichung erster Ordnung:

e^y0 +y⁰²+xy² = 0

2 Explizite Differentialgleichungerster Ordnung:

y⁰= sin(x) cos(y)

3 Explizite Differentialgleichungzweiter Ordnung:

y⁰⁰= 2y⁰+y

4 y(x) = e⁽¹⁺

√

2)x ist eine L¨osungf¨ur die Differentialgleichung unter Punkt (3).

5 y(x) = 2(1 +x²) ist eine L¨osungf¨ur die Differentialgleichung y⁰ = 2x

1 +x²y.

Umwandlung in die explizite Form

Die Umwandlung einer Differentialgleichung in die explizite Form ist u. U. nicht eindeutig.

Es entstehen evtl. mehrere Differentialgleichungen.

Beispiel 4.3

Wenn wir die implizite Differentialgleichung y⁰2

−4y = 0

nach y⁰ aufl¨osen wollen, entstehen die beiden expliziten Differentialgleichungen

y⁰ = 2√

y undy⁰=−2√ y.

Allgemeine und partikul¨are L¨osung

Eine Differentialgleichung hat i. d. R. mehr als eine L¨osung.

So ist jede Funktion y(x) =Ce^x mitC ∈R eine L¨osung f¨ur die Differentialgleichungy⁰ =y.

Solch eine Funktionenschar, also eine Funktion, die von einem oder mehreren Parametern abh¨angt, heißtallgemeine L¨osung.

Setzen wir f¨urC einen konkreten Wert ein, so erhalten wir eine partikul¨are L¨osung.

F¨ur C = 1 erhalten wir die partikul¨are L¨osungy(x) = e^x, die das Anfangswertproblem y⁰ =y,y(0) = 1 l¨ost.

Um aus einer Menge von L¨osungen eine einzelne L¨osung festzulegen, ben¨otigten wirzus¨atzliche Bedingungen.

Beispiel 4.4

Wir wollen zeigen, dass die Funktion

y(t) =Ke^{−RC1 t}, K ∈R die Differentialgleichung

˙

y(t) +y(t) RC = 0 l¨ost und K so bestimmen, dassy(0) =y₀ ist.

Wir berechnen

˙

y(t) =− K

RCe^{−RC1 t}, setzen dies in ˙y(t) +^y(t)_RC ein und erhalten

− K

RCe^{−RC1 t}+ K

RCe^{−RC1 t} = 0.

Fortsetzung Beispiel.

Also l¨osty(t) die Differentialgleichung.

Aus der allgemeinen L¨osung erhalten wir f¨ur t = 0:

y(0) =Ke^{−RC1 0}=K.

Also mussK =y0 gelten. Damit lautet die spezielle L¨osung

y(t) =y0·e^{−RC1 t}.

Anfangs- und Randwertproblem

Hat man neben der Differentialgleichung auch noch Bedingungen der Art

y(a) =y0,y⁰(a) =y1, . . . ,y⁽ⁿ⁾(a) =yn

so spricht man von einem Anfangswertproblem. Die Bedingungen heißen Anfangsbedingungen.

Beziehen sich die zus¨atzlichen Bedingungen nicht nur auf genau einen Werta der unabh¨angigen Variablen, so spricht man von

Randbedingungen. Es liegt dann ein Randwertproblem vor.

Beispiel 4.5

1 Anfangswertproblem: Differentialgleichung

y⁰ =x²y+ sin(x) mit der Anfangsbedingung y(0) = 0.

2 Randwertproblem: Differentialgleichung

y⁰⁰+ (1 + sin²(x))y⁰−x²y = cos(x) mit den Randbedingungen y(0) = 2 undy⁰(1) = 1.

Singul¨are L¨osungen

Es kann vorkommen, dass es neben den Funktionen einer

Funktionenschar, die wir als L¨osung erhalten, noch andere Funktionen gibt, die aber nicht in der Funktionenschar enthalten sind.

Solche L¨osungen heißensingul¨are L¨osungen.

Singul¨are L¨osungnentreten selten aufund

sind dannoft von sehr einfach Struktur, z. B. konstante Funktionen.

Beispiel 4.6

Wir betrachten die Differentialgleichung y⁰ =y(y−1).

Als L¨osung erhalten wir die Funktionenschar y(x) = 1

1−Ce^x, C ∈R.

Zus¨atzlich sind aber auch die konstanten Funktionen

y(x) = 0 und y(x) = 1

singul¨are L¨osungen der Differentialgleichung.

Differentialgleichung 1. Ordnung

Eine Differentialgleichung, in der nur diegesuchte Funktion und deren 1. Ableitung auftritt, heißt Differentialgleichung 1. Ordnung.

Allgemeine explizite Form:

y⁰ =f(x,y(x)) bzw. y⁰ =f(x,y).

Beispiele:

I y⁰ = 2xy

I yy⁰ = 2e^2x ⇔ y⁰ =^2e_y^2x

I y⁰ = 3x+ 4y−5

I y⁰ =y

I y⁰ =x

Richtungsfeld

Ein Richtungsfelderm¨oglicht eine einfache geometrische

Interpretationeiner expliziten Differentialgleichung erster Ordnung.

Uberblick ¨¨ uber den qualitativen Verlauf

Ausgangspunkt f¨ur numerische Verfahren zur approximativen L¨osung von Differentialgleichungen

Veranschaulichung: Wir ordnen jedem Punkt (x,y) durchy⁰ =f(x,y) eine Steigung zu.

Diese Steigung tragen wir in Form kleiner Linienelemente in die Ebene am Punkt (x,y) ein.

Den Verlauf m¨oglicher L¨osungsfunktionen erhalten wir, indem wir Kurven ausw¨ahlen, diein jedem Kurvenpunkt eine Steigung haben, die dem Richtungsfeld entspricht.

x y y⁰ = ^xy₂

0 0 0

1 1 ¹₂

−1 1 −¹₂

1 2 1

... ... ...

Richtungsfeld von y⁰ = 2xy mit L¨osungy(x) = e^x

2 2.

Richtungsfeld von y⁰ =y−x mit L¨osungen zu verschiedenen Anfangsbedingungen.

Existenz- und Eindeutigkeitssatz von Picard-Lindel¨of

Satz 4.7

Gegeben sei die Differentialgleichung y⁰ =f(x,y) mit f :D →Rund D ⊆Rⁿ.

Die Funktion f sei weiterhin stetig und Lipschitz-stetig in y , d. h.

f(x,y1)−f(x,y2) y₁−y₂

≤L f¨ur alle (x,y1),(x,y2)∈D.

Dann gibt es f¨ur jedes Anfangswertproblem mit Anfangsbedingung y(x0) =y0,(x0,y0)∈D genau eine L¨osung y(x).

Beispiel 4.8

Wir betrachten das Anfangswertproblem y⁰ =√

y, y(0) = 0.

L¨osungen sind bspw.y(0) = 0 undy(x) = ^x₄². Warum nicht eindeutig? Weil f(x,y) =√

y nicht Lipschitz-stetigin y ist.

Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung

Definition 4.9

Eine Differentialgleichung der Form

y⁰ =f(x)y+g(x) heißt linerare Differentialgleichung 1. Ordnung.

F¨urg(x) = 0 heißt die Differentialgleichunghomogen, ansonsten inhomogen.

Beispiel 4.10

Die Differentialgleichung

y⁰= 4xy+x

ist eine inhomoge lineare Differentialgleichung 1. Ordnung.

L¨osungsansatz: homogen

Sei F =R f dx.

y⁰ =fy ⇒ y⁰ y =f

⇒ Z y⁰

y dx = Z

f dx

⇒ log(y) =F +c

⇒ y = e^F+c =Ce^F Also ergeben sich die homogenen L¨osungeny(x) durch

y(x) =Ce

Rf(x)dx.

Beispiel 4.11

F¨ur die L¨osungen der homogenen Gleichung y⁰ = 4xy von Beispiel 4.10 erhalten wir:

Z

4x dx= 2x² ⇒ y(x) =Ce^2x2.

Variation der Konstanten

Zum Auffinden einer L¨osung der inhomogenen Gleichung w¨ahlt man den Ansatz:

y(x) =C(x)e^F(x)

d.h., man betrachtet die eigentliche Konstante als Funktion. Ableitung ergibt

y⁰(x) = C⁰(x)e^F(x)+C(x)f(x)e^F(x)

= C⁰(x)e^F(x)+f(x)y(x)

Also wird die inhomogene Differentialgleichung erf¨ullt, wenn g(x) =C⁰(x)e^F(x)

gilt.

C⁰e^F =g ⇒ C⁰=ge^−F

⇒ C = Z

ge^−Fdx+D

Dies setzen wir in unseren Ansatz y⁰ =Ce^F ein, und erhalten damit y(x) = e^F(x)

Z

g(x)e^−F(x)dx+D

als inhomogene L¨osung.

Beispiel 4.12

F¨ur das Beispiel 4.10 erhalten wir:

C(x) = Z

xe^−2x2dx =−1 4

Z

(−4)e^−2x2dx =−1

4e^−2x2+D und damit als inhomogene L¨osung:

y(x) = C(x)e^F(x)

=

−1

4e^−2x2+D

e^2x2

= −1

4+De^2x2 F¨urD = 1 haben wir damit

y(x) = e^2x2−1 4 als inhomogene L¨osung. Probe: Tafel.

Trennbare Variablen

Definition 4.13

Eine Differentialgleichung, die sich in der Form y⁰= f(x)

h(y)

schreiben l¨asst, heißtDifferentialgleichung mit trennbaren Variablen.

Beispiel 4.14

y⁰ =xy²

ist eine Differentialgleichung mit trennbaren Variablen. Hierzu w¨ahlen wir f(x) =x und h(y) = _y¹2.

L¨osungsansatz: trennbare Variablen

Es sei H(y) =R

h(y)dy und F =R f dx.

y⁰ = f

h(y) ⇒ h(y)y⁰=f

⇒ Z

h(y)y⁰dx = Z

f dx

⇒ H(y) =F +c

⇒ y =H⁻¹(F +c)

Die letzte Umformung setzt nat¨urlich voraus, dass H(y) eine Umkehrfunktion hat.

Beispiel 4.15

Wir betrachten das Anfangswertproblem y⁰ =√ y

mit y(0) = 2. Wir haben f(x) = 1 undh(y) = ^√1_y. Damit folgt F(x) =x+c und H(y) =−2√

y, also

−2√

y =x+c. Durch Aufl¨osen nachy erhalten wir:

y = 1

4(x+c)². Aus der Anfangsbedingung erhalten wirc = 2√

2 und somit die L¨osung:

y(x) = 1 4(x+ 2

√ 2)².

Beispiel 4.16

Wir wollen das Anfangswertproblem

y⁰ =xy², y(0) = 1 l¨osen. Wir haben somit f(x) =x,h(y) = _y¹2.

Damit folgt F(x) = ¹₂x²+c und H(y) =−_y¹ und somit:

−1 y = 1

2x²+c Durch Aufl¨osen nachy erhalten wir:

y =− 1

1

2x²+c =− 2 x²+ 2c. Aus der Anfangsbedingung erhalten wirc =−1.

Substitution

Wir definieren eine neue Funktionu(x), die von y,y⁰⁰ und/oderx abh¨angt.

Mithilfe dieser Funktion und ihrer Ableitungen ersetzen wir die Funktionen y(x),y⁰(x) und evtl.y⁽ⁿ⁾(x) f¨urn ≥2.

Nach der Ersetzung d¨urfen dann nur noch u(x),u⁰(x) und x in der Differentialgleichung auftauchen.

Weiterhin soll dieneue Differentialgleichung durch trennbare Variablen l¨osbar sein.

Dann l¨osen wir die neue Differentialgleichung und machenf¨ur die L¨osung die Substitution wieder r¨uckg¨angig.

Wir zeigen f¨ur diese Substitutionstechnik einige Standardf¨alle.

Differentialgleichungen vom Typ F(x,y⁰,y⁰⁰)

Wir betrachten Differentialgleichungen 2. Ordnungvom Typ F(x,y⁰,y⁰⁰) = 0,

also y tritt hier nicht explizit auf.

Substitution: u :=y⁰.

Damit folgt y⁰⁰=u⁰ und wir erhalten die Differentialgleichung 1. Ordnung

F(x,u,u⁰) = 0.

Istu =ϕ(x,C) eine L¨osung dieser Differentialgleichung, so erhalten wir mit

y(x) = Z

ϕ(x,C)dx+C₁, C,C₁ ∈R

eineallgemeine L¨osung der urspr¨unglichen Differentialgleichung 2. Ordnung.

Beispiel 4.17

Wir wollen die Differentialgleichung y⁰⁰=ap

1 +y⁰², a6= 0 l¨osen. F¨uru =y⁰ erhalten wir die Differentialgleichung

u⁰ =ap 1 +u² mit trennbaren Variablen:f(x) =a,h(u) = ^√1

1+u². Damit erhalten wir

arcsinh(u) =ax +C bzw. y⁰=u= sinh(ax +C).

Die nochmalige Integration ergibt als L¨osung y = 1

acosh(ax +C) +C1.

Differentialgleichungen vom Typ F(y,y⁰,y⁰⁰)

Wir betrachten die Differentialgleichung 2. Ordnungvom Typ F(y,y⁰,y⁰⁰) = 0.

Hier tritt die unabh¨angige Variable x nicht explizit auf.

Substitution: u(y) =y⁰.

Die Kettenregelliefert: y⁰⁰=u⁰(y)·y⁰=u⁰(y)·u(y).

Damit k¨onnen wir die urspr¨ungliche Differentialgleichung als Differentialgleichung1.Ordnung der Form

F(y,u,u⁰u) = 0 ausdr¨ucken.

Sei u =ϕ(y,C) eineallgemeine L¨osung der Differentialgleichung F(y,u,u⁰u) = 0.

Nun m¨ussen wir dieDifferentialgleichung mit trennbaren Variablen y⁰ =ϕ(y,C)

l¨osen, um die L¨osungy f¨ur die urspr¨ungliche Differentialgleichung zu erhalten.

Diese Differentialgleichung hat die implizite L¨osung Z 1

ϕ(y,C)dy =x+C₁, C,C₁∈R.

Beispiel 4.18 Wir wollen

y⁰⁰ =−y⁰²

5y, y >0

l¨osen. Mit u(y) =y⁰ bzw. uu⁰ =y⁰⁰ erhalten wir die Differentialgleichung uu⁰ =−u²

5y ⇔ u⁰ =− u 5y. mit trennbaren Variablen:f(y) =−_5y¹ ,h(u) = ¹_u.

Damit erhalten wir als L¨osung f¨ur diese Differentialgleichung log(u) =−1

5log(y) +C bzw. u =C1y⁻¹⁵, C1 ∈R.

Beispiel 4.19

Um y zu erhalten m¨ussen wir nun noch die Differentialgleichung y⁰ =C₁y⁻¹⁵

mit trennbaren Variablen l¨osen:f(x) =C1,h(y) =y¹⁵. Als L¨osung erhalten wir

5

6y⁶⁵ =C1x+C2 bzw. y(x) = (C3x+C4)⁵⁶. Die L¨osung existiert f¨urC₃,C₄>0.

Differentialgleichungen der Form y⁰ = φ ^y_x

Wir betrachten Differentialgleichungen der Form y⁰ =φy

x

. Beispiel:

y⁰= y

x 2

+y x. Substitution: u = ^y_x.

Aufl¨osung nach y ergibty =xu.

Die Produktregel liefert uns:

y⁰ =u+xu⁰.

Einsetzen in die urspr¨ungliche Differentialgleichung ergibt u+xu⁰ =φ(u).

L¨osen wir die letzte Gleichung nachu⁰ auf, erhalten wir mit u⁰= 1

x (φ(u)−u)

eineDifferentialgleichung mit trennbaren Variablen:

f(x) = 1

x, h(u) = 1 φ(u)−u. Als implizite L¨osungerhalten wir

Z 1

φ(u)−u du= log(|x|) +C.

Beispiel 4.20 Wir wollen

y⁰ =y x

2

+ y x. l¨osen. Wir habenφ(u) =u²+u und somit

h(u) = 1

φ(u)−u = 1 u². Daraus konstruieren wir die L¨osung:

Z 1

u² du= log(|x|) +C ⇒ −1

u = log(|x|) +C ⇒u=− 1 log(|x|) +C. R¨ucksubstitution ergibt

y=ux =− x log(|x|) +C.

Differentialgleichungen der Form y⁰ = φ(ax +by +c)

Wir betrachten Differentialgleichungen der Form y⁰ =φ(ax +by+c).

Substitution: u =ax +by+c.

L¨osen wir die Substitution nach y auf, erhalten wir y= u−ax−c

b .

und damit

y⁰ = u⁰−a b . Einsetzen in die Differentialgleichung ergibt

u⁰−a

b =φ(u).

Hieraus erhalten wir die Differentialgleichung u⁰ =bφ(u) +a.

mit trennbaren Variablen: f(x) = 1,h(u) = _bφ(u)+a¹ . Implizite L¨osung:

Z 1

bφ(u) +adu=x+C.

Beispiel 4.21 Wir wollen

y⁰= (x+y+ 1)² l¨osen. Wir haben also a=b=c = 1 undφ(u) =u². Als implizite L¨osung f¨uru erhalten wir

Z 1

u²+ 1du =x+C ⇒ arctan(u) =x+C. und somit

u = tan(x+C).

Wegen

y = u−ax −c b erhalten wir damit dieL¨osung

y = tan(x+C)−x−1.

Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten

Definition 4.22

Eine Differentialgleichung der Form

y⁽ⁿ⁾+an−1(x)y⁽ⁿ⁻¹⁾+· · ·+a₁(x)y⁰+a₀y =r(x) mit Funktionen an−1(x), . . . ,a1(x),a0(x) heißt lineare

Differentialgleichungn-ter Ordnung.

F¨urr(x) = 0 ist die Differentialgleichunghomogen, ansonsten inhomogen.

Eine Differentialgleichung der Form

y⁽ⁿ⁾+an−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+· · ·+a1y⁰+a0y =r(x)

mit Koeffizienten an−1, . . . ,a₁,a₀ ∈R ist einelineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten.

Aus der Linearit¨at der Ableitung erhalten wir die folgende Aussage.

Lemma 4.23

Ist y(x) eine L¨osung einer homogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung, dann ist auch Cy(x) eine L¨osung dieser Differentialgleich, f¨ur C ∈R.

verallgemeinert: Jede Linearkombinationvon L¨osungenist wieder eine L¨osung.

Deshalb suchen wir nach L¨osungen, bei denen sich keine L¨osung als Linearkombination der anderen ausdr¨ucken l¨asst,

also nach einer Menge von L¨osungen, die linear unabh¨angig sind.

Fundamentalsystem

Definition 4.24

n L¨osungen y1, . . . ,yn einer homogenen linearen Differentialgleichungn-ter Ordnung bilden ein Fundamentalsystem, wenny₁, . . . ,y_n linear unabh¨angig sind.

Die L¨osungeny1, . . . ,yn heißen dannFundamentall¨osungender Differentialgleichung.

Lemma 4.25

Jede L¨osung einer homogenen linearen Differentialgleichung n-ter Ordnung l¨asst sich als Linearkombination von Fundamentall¨osungen eines

Fundamentalsystems schreiben.

L¨osungsansatz f¨ur konstante Koeffizienten

Wir w¨ahlen f¨ur denhomogenen Fall den L¨osungsansatzy(x) = e^λx. Daraus folgt:

y^(k)(x) =λ^ke^λx f¨ur k = 0, . . . ,n

Damit ergibt sich f¨ur eine homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten:

λⁿe^λx +an−1λⁿ⁻¹e^λx +· · ·+a1λe^λx +a0e^λx = 0 Division durch e^λx f¨uhrt zu

λⁿ+an−1λⁿ⁻¹+· · ·+a₁λ+a₀ = 0.

Also istλeine Nullstelle des Polynoms

P(λ) =λⁿ+an−1λⁿ⁻¹+· · ·+a1λ+a0.

Charakteristisches Polynom

Definition 4.26

F¨ur die homogene lineare Differentialgleichungn-ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten

y⁽ⁿ⁾+an−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+· · ·+a1y⁰+a0y = 0 heißt das Polynom

P(λ) =λⁿ+an−1λⁿ⁻¹+· · ·+a₁λ+a₀ charakteristisches Polynom.

Folgerung 4.27

Sind λ1, . . . , λn∈Rpaarweise verschiedene reelle Nullstellen des charakteristischen Polynoms P(λ), dann bilden die Funktionen

e^λ1x, . . . ,e^λnx ein Fundamentalsystem.

Beispiel 4.28 Wir wollen

y⁰⁰ = 2y⁰+ 3y

l¨osen. Hierzu wandeln wir die Differentialgleichung von der expliziten in die implizite Form um und erhalten

y⁰⁰−2y⁰−3y= 0.

Also ist das charakteristische Polynom

P(λ) =λ²−2λ−3.

Es hat die Nullstellen

λ1,2= 1±√

1 + 3 = 1±2 = 3 bzw. −1.

Somit bilden die Funktionen y1(x) = e^3x und y2(x) = e^−x ein Fundamentalsystem.

Mehrfache reelle Nullstellen

Wenn das charakteristische Polynom n paarweise verschiedene reelle Nullstellen hat, liefern uns diese Nullstellen wie oben beschrieben ein Fundamentalsystem.

Das charakteristische Polynom hat zwar stetsn Nullstellen (mit Vielfachheiten), diese m¨ussen aber nicht paarweise verschieden oder reell sein.

Wie finden wir nun einFundamentalsystem bei mehrfachen Nullstellen?

Wir betrachten als Beispiel die Differentialgleichung y⁰⁰= 2ay⁰−a²y, a∈R. Dascharakteristische Polynom ist

P(λ) =λ²−2aλ+a² = (λ−a)².

Das charakteristische Polynom hat also die doppelte Nullstellea.

Es l¨asst sich leicht zeigen, dass nun auchy =xe^ax eine L¨osung der Differentialgleichungist:

I y⁰ = (1 +ax)e^ax

I y⁰⁰= (2a+a²x)e^ax

I Damit wird die Differentialgleichung erf¨ullt..Tafel.

Nebeny₁(x) =e^ax ist also auch y₂ =xe^ax eine L¨osung.

Damit haben wir ein Fundamentalsystem.

DiesesPrinzip gilt auch allgemein.

Fundamentalsystem bei mehrfachen reellen Nullstellen

Folgerung 4.29

Seien λ1, . . . , λ_k paarweise verschiedene reelle Nullstellen des charakteristischen Polynoms P(λ)mit Vielfachheiten n₁, . . . ,n_k und Pk

i=1ni =n.

Dann bilden die Funktionen

e^λ1x,xe^λ1x,x²e^λ1x, . . . ,xⁿ¹⁻¹e^λ1x e^λ2x,xe^λ2x,x²e^λ2x, . . . ,xⁿ²⁻¹e^λ2x ...

e^λkx,xe^λkx,x²e^λkx, . . . ,x^nk−1e^λkx ein Fundamentalsystem.

Beispiel 4.30

Wir betrachten die Differentialgleichung

y⁰⁰⁰= 7y⁰⁰−16y⁰+ 12y.

Ihre implizite Form lautet y⁰⁰⁰−7y⁰⁰+ 16y⁰−12y = 0 und damit haben wir P(λ) =λ³−7λ²+ 16λ−12.

Es giltP(2) = 8−28 + 32−12 = 0, also ist 2 eine Nullstelle von vonP(λ).

Polynomdivision ergibt

P(λ)/(λ−2) =λ²−5λ+ 6 und wir erhalten als weitere Nullstellen vonP(λ):

λ= 5 2 ±

r25 4 − 24

4 = 5 2 ±1

2 = 3 bzw. 2.

Fortsetzung Beispiel.

Also:

λ₁ = 2,n₁ = 2, λ₂ = 3,n₂ = 1 Damit ist

e^2x,xe^2x,e^3x ein Fundamentalsystem.

Komplexe Nullstellen

Das charakteristische PolynomP(λ) mussnicht ausschließlich reelle Nullstellenhaben.

Im reellen Fall ist e^λx eine Fundamentall¨osung, wenn λeine Nullstelle ist. Wir untersuchen nun e^λx f¨urλ∈C.

Sei nun λ=a+ ib mit a,b∈R.

Beachten Sie: Dann istauch stetsλ=a−ib eine Nullstelle vonP(λ).

Es gilt

e^λx = e^(a+ib)x = e^axe^ibx = e^ax(cos(bx) + i sin(bx)) (I) und

e^λx = e^(a−ib)x = e^axe^−ibx = e^ax(cos(bx)−i sin(bx)) (II).

JedeLinearkombination von L¨osungen der Differentialgleichungist wieder eine L¨osung.

Also bilden wir die Linearkombinationen 1

2((I) + (II)) = e^axcos(bx)

und 1

2i((I)−(II)) = e^axsin(bx).

Damit haben wir f¨ur das Nullstellenpaarλ, λ zwei linear unabh¨angige Fundamentall¨osungen.

F¨ur mehrmache komplexe Nullstellen entstehen dieweiteren Fundamentall¨osungen wie im Reellen.

Fundamentalsystem f¨ur homogene Differentialgleichung mit konstanten Koeffizienten

Satz 4.31

Sei λeine Nullstelle des charakteristischen Polynoms.

1 Istλeine relle Nullstelle mit Vielfachheit k, dann gibt es f¨urλdie k Fundamentall¨osungen

e^λx,xe^λx, . . . ,x^k−1e^λx.

2 Istλ_1,2=a±ib ein Paar konjugiert komplexer Nullstellen mit Vielfachheit k, dann gibt es f¨urλ1,2 die Fundamentall¨osungen

e^axcos(bx),e^axsin(bx), . . . ,x^k−1e^axcos(bx),x^k−1e^axsin(bx).

Die Fundamentall¨osungen von (1) und (2) vereinigt ¨uber alle Nullstellen bilden dann ein Fundamentalsystem.

Inhomogene Differentialgleichung

Wir betrachten nun deninhomogenen Fall, also

y⁽ⁿ⁾+an−1y⁽ⁿ⁻¹⁾+· · ·+a₁y⁰+a₀y =r(x).

Istys L¨osung der inhomogenen und y_h L¨osung der homogenen Differentialgleichung, dann ist y_s +y_h ebenfalls eine L¨osung f¨ur den inhomogenen Fall.

Sindy_s und y_r L¨osungen f¨ur den inhomogenen Fall, dann isty_r −y_s eine L¨osung f¨ur die homogene Differentialgleichung.

Fazit: F¨ur jede inhomoge L¨osungyr gilt yr =ys +yh

mit einer beliebigen inhomogenen L¨osungys und einer homogenen L¨osungy_h.

Wir ben¨otigen also nurirgendeine inhomogene L¨osung.

Ansatz vom Typ der rechten Seite

Ansatz: Die inhomogene L¨osung ist wie die rechte Seiter(x) aufgebaut.

St¨orgliedansatz

Die Ansatzfunktionen enthalten dabei Parameter, die so bestimmt werden m¨ussen, dass eine inhomogene L¨osung entsteht.

Uber einen¨ Koeffizientenvergleich f¨uhrt dies zu einem linearen Gleichungssystem.

Beispiel 4.32

Wir betrachten die inhomogene lineare Differentialgleichung y⁰⁰−y⁰−2y = 8e^3x.

Die Nullstellen von P(λ) =λ²−λ+ 2 sindλ₁= 2 und λ₂=−1. Damit haben wir als homogene L¨osungen

yh(x) =C1e^2x+C2e^−x, C1,C2∈R.

Zur Bestimmung einer inhomogenen L¨osung w¨ahlen wir den Ansatz y_s(x) =Ae^3x

woraus

y_s⁰(x) = 3Ae^3x, y_s⁰⁰(x) = 9Ae^3x. folgt.