Bestimmen Sie die L¨osung der linearen Optimierungsaufgabe

Universit¨at T¨ubingen T¨ubingen, den 17.07.2017 Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich

12. ¨Ubungsblatt zu Algorithmen der Numerischen Mathematik

Aufgabe 35: (Lineare Optimierer) (a) Seien A= ^{1 1 0 1}_{1 0 1 2}

,b= (6,1)^T und c = (13,0,0,12)^T. Zeigen Sie: (0,6,1,0)^T ist die einzige L¨osung der linearen Optimierungsaufgabe





 Ax=b x≥0 c^Tx= min!

(b) Nun seiAdie Einheitsmatrix undbundcseien Vektoren mit positiven Eintr¨agen. Bestimmen Sie die L¨osung der linearen Optimierungsaufgabe





 Ax≥b x≥0 c^Tx= min!

Aufgabe 36: (Bedingungen f¨ur Optimalit¨at)

Zur linearen OptimierungsaufgabeAx=b,x≥0, c^Txminimal! sei L(x, y) :=c^Tx−y^T(Ax−b)

die Lagrangefunktion. Zeigen Sie f¨ur x ≥ 0: x, y sind genau dann optimal f¨ur das primale bzw.

duale Problem, wenn (x, y) Sattelpunkt von List, d.h.

v∈maxR^m

L(x, v) =L(x, y) = min

u∈Rⁿ+

L(u, y).

Hinweis: W¨ahlen Sie f¨ur die R¨uckrichtungv und ugeschickt.

Besprechung in den ¨Ubungen am 25.07.2017 Ansprechpartnerin: Sarah Eberle,

eberle@na.uni-tuebingen.de, Sprechstunde: Donnerstag 9-10 Uhr

Programmieraufgabe 8: Implementieren Sie den Simplexalgorithmus und testen Sie Ihr Pro- gramm an dem Beispiel von Klee und Minty mitPn

i=12ⁿ⁻ⁱx_i= max! und

i−1

X

j=1

2^i−j+1x_j +x_i ≤5ⁱ, 1≤i≤n, x≥0

mitn = 3,4,5. ¨Uberf¨uhren Sie das Problem zuerst in Standardform. Starten Sie jeweils mit der Ecke x = (b^T0 . . . 0)^T, wobei b = (5 5² . . . 5ⁿ)^T. Plotten Sie die Kosten in Abh¨angigkeit von der Anzahl der Iterationsschritte. Wieviele Schritte ben¨otigt das Verfahren f¨ur dieses Beispiel?

Abgabe Programmieraufgabe 24.07.2017 12h an progtutor@na.uni-tuebingen.de